Posisi Sudut Dalam Radian

Posisi sudut menggambarkan kedudukan sudut dalam gerak melingkar beraturan. Pusat gerak melingkar dijadikan sebagai pusat titik acuan. Posisi sudut dari suatu titik zat yang bergerak melingkar dinyatakan: θ = θ(t), di mana θ(t) merupakan fungsi dari waktu. Contohnya dalam bentuk persamaan seperti θ = 2 + 2t² + t³.

Selain dinyatakan ke dalam fungsi waktu, posisi sudut suatu benda djuga bisa dinyatakan ke dalam koordinat kartesius (X,Y) atau dalam koordinat polar (r,θ). Secara umum posisi partikel yang melakukan gerak melingkar dapat dinyatakan dengan koordinat polar yakni:

R = (r, θ)

Dengan:

R = posisi partikel

r = jari-jari

θ = sudut yang ditempuh

 

Perhatikan gambar di bawah ini!

Sudut yang ditempuh suatu benda dalam koordinat polar θ, menunjukkan posisi sudut. Posisi tersebut menggunakan acuan sumbu X positif, dan diukur berlawanan dengan arah gerak jarum jam. Hubungan antara posisi sudut dalam gerak melingkar dengan perpindahan dalam gerak lurus adalah sebagai berikut.

 

θ = s/r

 

dengan:

θ : sudut tempuh

s : perpindahan dalam gerak lurus

r : jari-jari lintasan lingkaran

 

Satuan untuk sudut tempuh (θ) dalam gerak melingkar adalah radian atau rad. Sudut 1 Radian adalah sudut pusat lingkaran dengan panjang busur lingkaran sama dengan jari-jari lingkaran.

 

Dalam satu lingkaran penuh = 2π rad dan sudut dalam satu lingkaran penuh = 360°, maka:

2π radian = 360°

π radian = 180°

ingat π = 3,14

3,14 radian = 180°

1 radian = 180°/3,14

1 radian = 57,32°

 

Untuk memantapkan pemahaman kamu tentang posisi sudut, silahkan simak contoh soal di bawah ini.

 

Contoh Soal 1

Sebuah titik pada roda berotasi dengan persamaan posisi sudut θ = 2 + 2t² + t³, θ dalam radian dan t dalam sekon. Tentukan posisi sudut titik tersebut pada saat t = 2 s.

 

Penyelesaian:

θ = 2 + 2t² + t³

 

Posisi sudut pada saat t = 2 yakni:

θ = 2 + 2t² + t³

θ = 2 + 2(2)² + (2)³

θ = 2 + 8 + 8

θ = 18 radian

 

Contoh Soal 2

Sebuah piringan (CD) berputar dengan posisi sudut θ = 6t² + 4t – 2, t dalam sekon dan θ  dalam radian. Tentukan posisi sudutnya saat t = 0 s dan t = 2 s.

 

Penyelesaian:

θ = 6t² + 4t – 2

 

Posisi sudut saat t = 0, yakni:

θ = 6t² + 4t – 2

θ = 6(0)² + 4(0) – 2

θ = 0 + 0 – 2

θ = – 2 radian

 

Posisi sudut saat t = 2, yakni:

θ = 6t² + 4t – 2

θ = 6(2)² + 4(2) – 2

θ = 24 + 8 – 2

θ = 30 radian

 

Contoh Soal 3

Sebuah titik partikel melakukan gerak melingar dengan jari-jari lintasan 10 cm dan persamaan posisi sudut yang ditempuh θ = (5 + 2t),  t dalam sekon dan θ  dalam radian. Tentukan posisi titik pertikel pada saat t = 2 sekon!

 

Penyelesaian

r = 10 cm

θ = 5 + 2t

t = 2 sekon

 

Posisi sudut untuk t = 2 sekon yakni:

θ = 5 + 2t

θ = 5 + 2(2)

θ = 9 radian

 

Posisi partikel dalam koordinat polar yakni:

R = (r, θ)

R = (10 cm, 9 radian)

 

Contoh Soal 4

Sebuah benda yang pada saat t = 0 mempunyai θ_o = 0 dan ω_o= 0 kemudian dipercepat dalam suatu lintasan melingkar dengan jari-jari 10 m menurut persamaan α = (12t² – 18t – 20) rad/s². Pada saat t = 2 sekon, tentukan posisi sudut dan posisi partikel dalam koordinat polar.

 

Penyelesaian:

α = (12t² – 18t – 20) rad/s²

t = 0 => θ_o = 0

t = 0 => ω_o= 0

t = 2 s

 

Untuk mencari posisi sudut (θ) kamu harus mengintegralkan 2 kali persamaan α = (12t² – 18t – 20) rad/s²,

maka:

ω = ꭍ(12t² – 18t – 20)

ω = 4t³ – 9t² – 20t + C

 

pada saat t = 0 => ω_o= 0 maka C = 0,

persamaan menjadi:

ω = 4t³ – 9t² – 20t

 

integralkan sekali lagi, maka:

θ = ꭍ(4t³ – 9t² – 20t)

θ = t⁴ – 3t³ – 10t² + C

 

pada saat t = 0 => θ _o= 0 maka C = 0

persamaan menjadi:

θ = t⁴ – 3t³ – 10t²

 

Posisi sudut partikel pada saat t = 2 s yakni:

θ = t⁴ – 3t³ – 10t²

θ = (2)⁴ – 3(2)³ – 10(2)²

θ = 16 – 24 – 40

θ = – 48 rad

 

Posisi partikel dalam koordinat polar yakni:

R = (r, θ)

R = (10 m, – 48 rad)

 

Contoh Soal 5

Sebuah partikel bergerak melingkar dengan panjang jari-jari 10 m, tentukan posisi partikel jika berpindah 20 m!

 

Penyelesaian:

r = 10 m

s = 20 m

 

Kamu bisa menggunakan persamaan hubungan antara posisi sudut dalam gerak melingkar dengan perpindahan dalam gerak lurus yakni:

θ = s/r

θ = 20/10

θ = 2 rad

 

Posisi partikel:

R = (r, θ)

R = (10 m, 2 rad)

 

Bagaimana? Mudah bukan mencari posisi sudut dalam gerak melingkar? Jika ada permasalahan memahami materi ini, silahkan tanyakan di kolom komentar.

TOLONG DIBAGIKAN YA :