Cara Penyelesaian Persamaan Linear Tiga Variabel Metode Eliminasi

Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) dapat diselesaikan dengan beberapa metode seperti metode substitusi, metode eliminasi, metode campuran (eliminasi dan substitusi) dan metode determinan dengan menggunakan matriks. Nah postingan kali ini Mafia Online akan membahas tentang cara penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel dengan metode eliminasi.

Oke langsung saja simak beberapa contoh soal di bawah ini.

Contoh Soal 1

Himpunan {x, y, z} adalah himpunan penyelesaian sistem persamaan:

x – y + 2z = 5 . . . pers (1)

2x + y – z = 9 . . . pers (2)

x − 2y + 3z = 4 . . . pers (3)

Tentukan nilai x + y + z !

 

Penyelesaian:

Langkah I

Pilih variabel apa yang akan dieliminasi, misalkan kita pilih akan mengeliminasi variabel z. Koefesien z pada persaman 1 dan 2 berbeda, maka samakan terlebih dahulu maka:

x – y + 2z = 5 (dikali 1)

2x + y – z = 9 (dikali 2)

 

x – y + 2z         = 5

4x + 2y – 2z     = 18

------------------------- +

5x + y               = 23 . . . pers (4)

 

Koefesien z pada persaman 2 dan 3 berbeda, maka samakan terlebih dahulu maka:

2x + y – z = 9   (dikali 3)

x − 2y + 3z = 4 (dikali 1)

 

6x + 3y − 3z     = 27

x − 2y + 3z       = 4

--------------------- +

7x + y               = 31 . . . pers (5)

 

Langkah II

Eliminasi variabel y dengan menggunakan persamaan 5 dan persamaan 4 maka:

7x + y   = 31

5x + y   = 23

-------------- -

2x        = 8

x          = 4

 

Langkah III

Eliminasi variabel x dengan menggunakan persamaan 5 dan persamaan 4 maka:

7x + y = 31 (dikalikan 5)

5x + y = 23 (dikalikan 7)

 

35x + 5y = 155

35x + 7y = 161

------------------- -

         –2y = –6

            y = 3

 

Langkah IV

Sekarang cari nilai z dengan cara mengeliminasi variabel x atau y pada persamaan 1 dan persamaan 2, misalkan kita akan mengeliminasi variabel y.

x – y + 2z = 5

2x + y – z = 9

----------------- +

3x + z = 14 . . . pers (6)

 

Eliminasi variabel y pada persamaan 2 dan persamaan 3, maka:

2x + y – z = 9   (dikali 2)

x − 2y + 3z = 4 (dikali 1)

 

4x + 2y – 2z = 18

x − 2y + 3z = 4

---------------------- +

5x + z = 22 . . . pers (7)

 

Langkah V

Eliminasi x dengan menggunakan persamaan 6 dan persamaan 7 untuk mendapatkan nilai x, maka:

3x + z = 14 (dikali 5)

5x + z = 22 (dikali 3)

 

15x + 5x = 70

15x + 3z = 66

----------------- -

          2z = 4

            z = 2

 

Langkah VI

Didapatkan himpunan penyelesian sistem persamaan linear tiga variabel tersebut yakn {4, 3, 2}, maka:

x + y + z = 4 + 3 + 2 = 10

 

Contoh Soal 2

Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear tiga variabel berikut dengan metode eliminasi:

3x – y + 2z = 15 . . . pers (1)

2x + y + z = 13 . . . pers (2)

3x + 2y + 2z = 24 . . . pers (3)

 

Penyelesaian:

Langkah I

Eliminasi x dengan menggunakan persamaan 1 dan 2, maka:

3x – y + 2z = 15 (dikali 2)

2x + y + z = 13   (dikali 3)

 

6x – 2y + 4z =30

6x + 3y + 3z = 39

--------------------- -

     – 5y + z =  –9. . . pers (4)

 

Langkah II

Eliminasi x dengan menggunakan persamaan 2 dan 3, maka:

2x + y + z = 13     (dikali 3)

3x + 2y + 2z = 24 (dikali 2)

 

6x + 3y + 3z = 39

6x + 4y + 4z = 48

--------------------- -

     – y – z = – 9 . . . pers (5)

 

Langkah III

Eliminasi variabel y dengan menggunakan persamaan 4 dan 5, maka:

– 5y + z =  –9 (dikali 1)

– y – z = – 9   (dikali 5)

 

– 5y + z =  –9

– 5y – 5z = – 45

-------------------- -

           6z = 36

            z = 6

 

Langkah IV

Eliminasi z dengan menggunakan persamaan 4 dan 5 maka:

– 5y + z =  –9

– y – z = – 9  

----------------- +

– 6y    = – 18

        y = 3

 

Langkah VI

Untuk mencari nilai x, eliminasi variabel y dan z dengan menggunakan persamaan 2 dan 3, maka:

2x + y + z = 13     (dikali 2)

3x + 2y + 2z = 24 (dikali 1)

 

4x + 2y + 2z = 26

3x + 2y + 2z = 24

--------------------- -

x = 2

Jadi himpunan penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel tersebut adalah {2, 3, 6}

Demikian artikel tentang cara penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel dengan metode eliminasi lengkap dengan langkah-langkahnya. Mohon maaf jika ada kata atau tulisan yang salah. Jika ada masalah atau kurang mengerti dengan pembahasan di atas, silahkan tanyakan di kolom komentar.

Silahkan tunggu postingan berikutnya tentang cara penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel dengan metode substitusi. Silahkan baca juga Soal Cerita Persamaan Linear Tiga Variabel dan Penyelesaiannya.

TOLONG DIBAGIKAN YA :