Cara Menyelesaikan Sistem Persamaan Nonlinear Dua Variabel

Sebelumnya Mafia Online sudah membahas cara menyelesaikan persamaan linear dua variabel dan cara menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel dengan menggunakan metode-metode seperti metode grafik, metode eliminasi, metode substitusi, metode gabungan dan cara cepat.

Postingan-postingan sebelumnya hanya membahas cara penyelesiaan sistem persamaan linear dua variabel tetapi tidak membahas sistem persamaan nonlinear dua variabel. Bagaiamana dengan sistem persamaan nonlinear dua variabel? Apakah bisa menggunakan metode-metode yang ada pada SLPDV untuk menyelesaikan sistem persamaan nonlinear dua variabel.

Kita ketahui bahwa persamaan linear dua variabel dapat dinyatakan dalam bentuk ax + by = c dengan a, b, dan c anggota himpunan bilangan riil, a, b ≠ 0, dan x, y suatu variabel (silahkan baca pengertian persamaan linear dua variabel). Bagaimana dengan persamaan nonlinear dua variabel? Persamaan nonlinear dua variabel biasanya dinyatakan dalam bentuk ax² + by² = c atau (a/x) + (b/x) = c dengan a, b, dan c anggota himpunan bilangan riil, a, b ≠ 0, dan x, y suatu variabel. Contoh persamaan linear dua variabel yakni:

1) x² – y² = 8

2) (2/x) + (5/y) = 7

3) 5a² + b² = 7

4) –a² – 4b² = 9

5) 2/a + 3/b = 3

Kenapa persamaan di atas disebut nonlinear? Persamaan linear jika digambarkan ke dalam grafik maka grafiknya berupa garis lurus (linear), sedangkan persamaan nonlinear jika digambarkan ke dalam grafik maka grafiknya bukan garis lurus melainkan berupa garis lengkung, seperti contoh persamaan di atas. Silahkan Anda buktikan sendiri pada persamaan di atas, apakah benar bentuk grafiknya bukan garis lurus.

 

Sekarang, bagaimana cara menyelesaikan sistem persamaan nonlinear dua variabel seperti soal (1/x) + (5/y) = 5 dan (2/x) + (3/y) = 6?

Sistem persamaan nonlinear dua variabel dapat diselesaikan dengan cara mengubahnya terlebih dahulu ke bentuk linear. Bagaimana mengubah persamaan nonlinear menjadi persamaan linear? Ok, sekarang kita selesaikan contoh soal di atas. Persamaan nonlinear (1/x) + (5/y) = 5 dan (2/x) + (3/y) = 6 dapat diubah menjadi linear dengan cara membuat permisalan. Misalkan 1/x = a dan 1/y = b, sehingga persamaan linear dua variabelnya menjadi:

(1/x) + (5/y) = 5 => a + 5b = 5

(2/x) + (3/y) = 6 => 2a + 3b = 6

Kemudian, selesaikan persamaan-persamaan tersebut dengan penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel tersebut dengan metode yang Anda sudah pahami. Misalkan kita gunakan cara cepat, yakni:

a + 5b = 5

2a + 3b = 6

=> b = (1.6 – 5.2)/(1.3 – 5.2)

=> b = (6 – 10)/3 – 10

=> b = (– 4)/(– 7)

=> b = 4/7

Selanjutnya substitusi nilai b = 4/7 ke persamaan a + 5b = 5, sehingga diperoleh:

=> a + 5b = 5

=> a + 5(4/7) = 5

=> a + 20/7 = 5

=> a = 5 – (20/7)

=> a = (35/7) – (20/7)

=> a = 15/7

Setelah diperoleh nilai a dan b, kembalikan nilai a dan b ke pemisalan semula, yakni:

1/x = a

1/x = 15/7

x = 7/15

1/y = b

1/y = 4/7

y = 7/4

Jadi, penyelesaian persamaan (1/x) + (5/y) = 5 dan (2/x) + (3/y) = 6 adalah x = 7/15 dan y = 7/4.

Nah untuk memantapkan pemahaman Anda tentang cara penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel, silahkan simak contoh soal di bawah ini.

Contoh Soal

Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan berikut.

1). 2x² – 3 = –(1 + y)² dan x² + (1 + y)² = 2

2). (2/x) + (3/y) = 12 dan (3/x) – (1/y) = 7

3). √x + √y = 4 dan 2√x – √y = 3

Penyelesaian:

1). Kita ketahui bahwa persamaan 2x² – 3 = –(1 + y)² ekuivalen dengan 2x² + (1 + y)² = 3, maka:

2x² + (1 + y)² = 3

x² + (1 + y)² = 2

Misalkan x² = a dan (1 + y)² = b, maka:

2x² + (1 + y)² = 3 =>2a + b = 3

  x² + (1 + y)² = 2 =>   a + b = 2

Kita gunakan cara cepat, yakni:

=> b = (2.2 – 3.1)/(2.1 – 1.1)

=> b = 1

Substitusi nilai b = 1 ke persamaan a + b = 2, sehingga diperoleh:

=> a + b = 2

=> a + 1 = 2

=> a = 1

Kembalikan nilai a dan b ke pemisalan semula, yakni:

x² = a

=> x² = 1

=> x = 1

 (1 + y)² = b

=> (1 + y)² = 1

=> 1 + y = 1

=> y = 0

Jadi, penyelesaian persamaan tersebut adalah x = 1 dan y = 0.

2). (2/x) + (3/y) = 12 dan (3/x) – (1/y) = 7

Misalkan 1/x = a dan 1/y = b, maka:

(2/x) + (3/y) = 12 => 2a + 3b = 12

(3/x) –  (1/y) = 7  => 3a  – b  = 7

Kita gunakan cara cepat, yakni:

=> b = (2.7 – 3.12)/(2.( –1) – 3.3)

=> b = (14 – 36)/( –2 – 9)

=> b = –22/–11

=> b = 2

Substitusi nilai b = 2 ke persamaan 3a  – b  = 7, sehingga diperoleh:

=> 3a  – b  = 7

=> 3a  – 2  = 7

=> 3a = 7 + 2

=> 3a = 9

=> a = 3

Kembalikan nilai a dan b ke pemisalan semula, yakni:

1/x = a

=> 1/x = 3

=> x = 1/3

1/y = b

=> 1/y = 2

=> y = 1/2

Jadi, penyelesaian persamaan tersebut adalah x = 1/3 dan y = 1/2

3). √x + √y = 4 dan 2√x – √y = 3

Misalkan √x = a dan √y = b, maka:

√x  +  √y = 4 => a  +  b = 4

2√x – √y = 3 => 2a– b = 3

Kita gunakan cara cepat, yakni:

=> b = (1.3 – 4.2)/(1.( –1) – 1.2)

=> b = (– 5)/( –3)

=> b = 5/3

Substitusi nilai b = 3/4 ke persamaan a + b = 4, sehingga diperoleh:

=> a + b = 4

=> a + 5/3 = 4

=> a = 4 – 5/3

=> a = (12/3) – (5/3)

=> a = 7/3

Kembalikan nilai a dan b ke pemisalan semula, yakni:

√x = a

=> √x = 7/3

=> x = (7/3)²

=> x = 49/9

√y = b

=> √y = 5/3

=> y = (5/3)²

=> y = 25/9

Jadi, penyelesaian persamaan tersebut adalah x = 49/9 dan y = 25/9

Demikianlah pembahasan mengenai cara penyelesaian sistem persamaan nonlinear dua variabel. Mohon maaf jika ada kata-kata atau perhitungan yang salah dalam postingan di atas. Jika ada permasalahan mengenai pembahasan di atas silahkan tanyakan di kolom komentar. Salam Mafia.

TOLONG DIBAGIKAN YA :