website statistics Menentukan Nilai Sudut Antara Garis Dengan Garis Pada Kubus

Menentukan Nilai Sudut Antara Garis Dengan Garis Pada Kubus

Untuk bisa menentukan nilai sudut antara garis dengan garis pada kubus ada beberapa konsep yang digunakan pada pembahasan seperti identitas trigonometri, aturan cosinus pada segitiga, dan teorema Pythagoras. Sebelum menggunakan beberapa konsep tersebut, terlebih dahulu kamu harus menggambarkan permasalahan atau soal ke dalam gambar atau sketsa agar lebih mudah mengerjakan soalnya. Oke langsung saja ke contoh soalnya.

 

Contoh Soal 1

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8 cm. Jika titik P terletak di tengah garis AB, maka tentukan nilai tangen sudut antara garis AG dengan garis PG.

 

Penyelesaian:

Untuk memudahkan menyelesaikan soal tersebut, terlebih dahulu ilustrasikan soal tersebut ke dalam gambar, maka akan terlihat seperti gambar di bawah ini.

Menentukan Nilai Sudut Antara Garis Dengan Garis Pada Kubus


Cari panjang BG terlebih dahulu dengan menggunakan teorema Pythagoras yakni:

BG2 = BC2 + CG2

BG2 = 82 + 82

BG2 = 128

BG = 8√2 cm

 

Cari panjang PG dengan menggunakan teorema Pythagoras juga, maka:

PG2 = BP2 + BG2

PG2 = 42 + (8√2)2

PG2 = 16 + 128

PG2 = 144

PG = 12 cm

 

Cari panjang AG yang merupakan diagonal ruang kubus ABCD.EFGH, maka:

AG = r√3

AG = 8√3 cm

 

Perhatikan segitiga AGP yang merupakan segitiga sembarang. Dengan menggunakan aturan cosinus maka akan diperoleh:

AP2 = AG2 + PG2 – 2AG.PG.cos α

42 = (8√3)2 + 122 – 2.8√3.12.cos α

16 = 192 + 144 - 192√3 cos α

192√3 cos α = 320

3√3 cos α = 5

cos α = 5/(3√3)

 

Nilai tan α dapat ditentukan dengan menggunakan identitas trigonometri yakni:

sec2 α – tan2 α = 1

(1/cos2 α) – tan2 α = 1

tan2 α = (1/cos2 α) – 1

tan2 α = (1/[5/(3√3)]2) – 1

tan2 α = (1/(25/27)) – 1

tan2 α = (27/25) – 1

tan2 α = (27/25) – (25/25)

tan2 α = 2/25

tan α = √2/√25

tan α = √2/5

Jadi, nilai tangen sudut antara garis AG dengan garis PG adalah √2/5.

 

Contoh Soal 2

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 cm. Jika α adalah sudut antara rusuk AB dan diagonal BH, maka tentukan nilai cos α!

 

Penyelesaian:

Untuk memudahkan menyelesaikan soal tersebut, terlebih dahulu ilustrasikan soal tersebut ke dalam gambar, maka akan terlihat seperti gambar di bawah ini.

Menentukan Nilai Sudut Antara Garis Dengan Garis Pada Kubus

Cari panjang AH terlebih dahulu dengan menggunakan teorema Pythagoras yakni:

AH2 = AE2 + EH2

AH2 = 42 + 42

AH2 = 32

AH = 4√2 cm

 

Cari panjang BH dengan menggunakan teorema Pythagoras juga, maka:

BH2 = AB2 + AH2

BH2 = 42 + (4√2)2

BH2 = 16 + 32

BH2 = 48

BH = 4√3 cm

 

Perhatikan segitiga ABH yang merupakan segitiga siku-siku, maka:

cos α = AH/BH

cos α = (4√2)/(4√3)

cos α = √2/√3

cos α = √6/3 atau (1/3)√6

 

Contoh Soal 3

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 cm. Jika titik Q merupakan perpotongan diagonal AC dengan diagonal BD, maka tentukan nilai sin sudut antara garis AG dengan garis QG.

 

Penyelesaian:

Untuk memudahkan menyelesaikan soal tersebut, terlebih dahulu ilustrasikan soal tersebut ke dalam gambar, maka akan terlihat seperti gambar di bawah ini.

Menentukan Nilai Sudut Antara Garis Dengan Garis Pada Kubus

Cari panjang AC yang merupakan diagonal sisi ABCD yakni:

AC = r√2

AC = 4√2 cm

 

Cari panjang AG yang merupakan diagonal ruang kubus yakni:

AG = r√3

AG = 4√3 cm

 

Panjang AQ merupakan setengah panjang diagonal AC, maka:

AQ = ½ AC

AQ = ½ 4√2

AQ = 2√2 cm

 

Cari panjang QG dengan menggunaka teorema Pythagoras maka:

QG2 = CQ2 + CG2

QG2 = (2√2)2 + 42

QG2 = 8 + 16

QG2 = 24

QG = 2√6 cm

 

Perhatikan segitiga AQG yang merupakan segitiga sembarang. Dengan menggunakan aturan cosinus maka akan diperoleh:

AQ2 = AG2 + QG2 – 2AG.QG.cos α

(2√2)2 = (4√3)2 + (2√6)2 – 2.4√3.2√6.cos α

8 = 48 + 24 - 16√18 cos α

8 = 48 + 24 - 48√2 cos α

48√2 cos α = 64

3√2 cos α = 4

cos α = 4/(3√2)

 

Nilai sin α dapat ditentukan dengan menggunakan identitas trigonometri yakni:

sin2 α = 1 – cos2 α

sin2 α = 1 – [4/(3√2)]2

sin2 α = 1 – 16/18

sin2 α = (18/18) – (16/18)

sin2 α = 2/18

sin2 α = 1/9

sin α = 1/3

 

Contoh Soal 4

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 cm. Jika titik X merupakan perpotongan diagonal AC dengan diagonal BD dan titik Y di tengah-tengah AE, maka tentukan nilai sin sudut antara garis GX dengan garis GY.

 

Penyelesaian:

Untuk memudahkan menyelesaikan soal tersebut, terlebih dahulu ilustrasikan soal tersebut ke dalam gambar, maka akan terlihat seperti gambar di bawah ini.

Menentukan Nilai Sudut Antara Garis Dengan Garis Pada Kubus

Panjang AC merupakan diagonal sisi kubus maka:

AC = r√2

AC = 4√2 cm

 

Cari panjang GX dengan menggunaka teorema Pythagoras maka:

GX2 = CG2 + CX2

GX2 = 42 + 2√22

GX2 = 16 + 8

GX2 = 24

GX = 2√6 cm

 

Panjang XY:

XY2 = AX2 + AY2

XY2 = 2√22 + 22

XY2 = 8 + 4

XY2 = 12

XY = 2√3 cm

 

Panjang GY:

GY2 = GE2 + EY2

GY2 = (4√2)2 + 22

GY2 = 32 + 4

GY2 = 36

GY = 6 cm

 

Perhatikan segitiga XGY. Dengan menggunakan aturan cosinus maka akan diperoleh:

XY2 = GX2 + GY2 – 2.GX.GY.cos α

(2√3)2 = (2√6)2 + 62 – 2.2√6.6.cos α

12 = 24 + 36 – 24√6.cos α

24√6.cos α = 48

√6.cos α = 2

cos α = 2/√6

 

Nilai sin α dapat ditentukan dengan menggunakan identitas trigonometri yakni:

sin2 α = 1 – cos2 α

sin2 α = 1 – (2/√6)2

sin2 α = 1 – 4/6

sin2 α = 1 – 2/3

sin2 α = (3/3) – (2/3)

sin2 α = 1/3

sin α = √(1/3)

sin α = 1/√3

sin α = (1/3)√3

 

Cara lain:

Perhatikan segitiga GXY yang merupakan segitiga siku-siku (dapat dibuktikan dengan triple Pythagoras), nilai sin α tanpa menggunakan aturan cosinus yakni:

sin α = XY/GY

sin α = (2√3)/6

sin α = √3/3

sin α = (1/3)√3

 

Demikian pembahasan cara menentukan nilai sudut antara garis dengan garis pada kubus. Jika ada kendala atau permasalahan dalam memahami materi ini, silahkan tanyakan di kolom komentar.

TOLONG DIBAGIKAN YA :

0 Response to "Menentukan Nilai Sudut Antara Garis Dengan Garis Pada Kubus "

Posting Komentar

Terima kasih sudah membaca blog ini, silahkan tinggalkan komentar dengan sopan dan tidak mengandung unsur SARA atau pornografi serta tidak ada link aktif. Mohon maaf kalau komentarnya dibalas agak lambat. Kolom komentar ini kami moderasi, jadi kalau ada komentar yang tidak sesuai dengan ketentuan tidak akan dipublikasikan.