Sebelum membuktikan identitas trigonometri, terlebih
dahulu harus paham dengan trigonometri dasar yakni sinus (sin), cosinus (cos),
tangen (tan), cosecan (csc), secan (sec), dan cotangen (cot). Untuk itu, silahkan
simak gambar di bawah ini.
![]() |
Segitiga siku-siku |
Dari gambar segitiga siku-siku ABC di atas maka
didapatkan bahwa:
Sin α =
a/b
Cos α =
c/b
Tan α =
a/c
Csc α =
b/a
Sec α =
b/c
Cot α =
c/a
Dari tan α, csc α, sec α, dan cot α akan
didapatkan bentuk lain yakni:
Tan α = a/c
Tan α = (a/b)/(c/b)
Tan α =
sin α/cos α
Csc α = b/a
Csc α = 1/(a/b)
Csc α =
1/sin α
Sec α = b/c
Sec α = 1/(c/b)
Sec α =
1/cos α
Cot α = c/a
Cot α = 1/(
a/c)
Cot α =
1/tan α
Sekarang kita buktikan bahwa sin2 α +
cos2 α = 1 dengan menggunakan teorema pythagoras yakni:
b2 = a2 + c2
b2 = a2 + c2
(a/sin α)2 = (b.sin α)2 + (b.cos
α)2
a2/sin2 α = b2.sin2
α + b2.cos2 α
a2/sin2 α = b2(sin2
α + cos2 α)
a2/ b2sin2 α =
sin2 α + cos2 α
a2/a2 = sin2 α
+ cos2 α
1
= sin2 α + cos2
α
(terbukti)
Dengan menggunakan persamaan trigonometri dasar
diatas maka persamaan identitas trigonometri sin2 α + cos2
α = 1 dapat dibuktikan sebagai berikut.
sin2 α + cos2 α = 1
(a/b)2 + (c/b)2 = 1
a2/b2 + c2/b2
= 1
(a2 + c2)/b2 =
1
b2/b2 = 1
1 = 1 (terbukti)
Dari persamaan identitas trigonometri sin2
α + cos2 α = 1 akan didapatkan bentuk identitas lain yakni sebegai
berikut.
Jika sama-sama dibagi dengan sin2 α
maka akan didapatkan:
sin2 α + cos2 α = 1
sin2 α/sin2 α + cos2
α/sin2 α = 1/sin2 α
1 + cot2 α = csc2 α
csc2
α – cot2 α = 1
Sedangkan, jika sama-sama dibagi dengan cos2
α maka akan didapatkan:
sin2 α + cos2 α = 1
sin2 α/cos2 α + cos2
α/cos2 α = 1/cos2 α
tan2 α + 1 = sec2 α
sec2
α – tan2 α = 1
Note: Identitas csc α, sec α dan cot α (dalam
kotak warna merah) disebut sebagai identitas kebalikan. Identitas selanjutnya (dalam
kotak berwarna biru) disebut sebagai identitas Pythagoras. Sedangkan identitas
terakhir, tan α dan cot α (dalam kotak warna cokelat) disebut sebagai identitas
rasio.
0 Response to "Pembuktian Identitas Trigonometri"
Posting Komentar
Terima kasih sudah membaca blog ini, silahkan tinggalkan komentar dengan sopan dan tidak mengandung unsur SARA atau pornografi serta tidak ada link aktif. Mohon maaf kalau komentarnya dibalas agak lambat. Kolom komentar ini kami moderasi, jadi kalau ada komentar yang tidak sesuai dengan ketentuan tidak akan dipublikasikan.