Cara Menghitung Persamaan Garis Singgung Kurva dengan Konsep Turunan

Materi ini sudah Anda pelajari sejak duduk di bangku SMP. Kalau anda lupa silahkan anda buka-buka kembali gudang tempat penyimpanan buku-buku Anda waktu duduk di bangku SMP. Waktu SMP anda belum mengenal materi turunan. Sekarang materi konsep persamaan garis singgung kembali anda pelajari. Bedanya pada materi ini untuk mencari garis singgung suatu kurva dengan menggunkan konsep turunan yang sudah anda pelajari sebelumnya. Oke langsung saja ke permasalahan. Perhatikan gambar berikut.

Titik P(x, y) adalah sembarang titik pada kurva y = f(x), sehingga koordinat titik P dapat dituliskan sebagai (x, f(x)). Absis titik Q adalah (x + h) sehingga koordinat titik Q adalah {(x + h), (f(x + h)}. Jika h → 0, maka S akan menjadi garis singgung pada kurva di titik P yaitu PS. Dengan demikian gradien garis singgung pada kurva di titik P adalah sebagai berikut.

Untuk lebih jelasnya, coba sekarang perhatikan contoh soal berikut ini.

Contoh soal 1

Tentukan gradien garis singgung dari fungsi f(x) = 2x³ – 5x² di titik (–1, –3).

Penyelesaian

f(x) = 2x³ – 5x²

f ′(x) = 6x² – 10x

f ′(–1) = 6 + 10

f ′(–1) = 16

Jadi, gradien garis singgung f(x) = 2x³ – 5x² di titik (–1, –3) adalah m = 16.

Contoh soal 2

Jika diketahui f(x) = 5 – √x , tentukan gradien garis singgung kurva tersebut di titik yang ordinatnya 3.

Penyelesaian

f(x) = 5 – √x

3 = 5 – √x

x = 2 ⇒ x = 4

f(x) = 5 – √x = 5 – x ^-1/2

f ′(x) = –½ x ^-1/2 = – 1/(2√x)

m = f ′(4) = – 1/(2√4)

m = – ¼

Jadi, gradien garis singgung kurva tersebut di titik yang ordinatnya 3 adalah – ¼

Persamaan garis singgung pada kurva di titik (x1, y1) dengan gradien m di mana m = f ′(x) adalah:

Untuk lebih jelasnya, coba sekarang perhatikan lagi contoh soal berikut ini.

Contoh soal 3

Diketahui kurva f(x) = x³ –6x². Tentukan persamaan garis singgung dari kurva tersebut yang mempunyai gradien –12.

Penyelesaian

f(x) = x³ – 6x²

f ′(x) = 3x² – 6⋅2x = 3x² – 12x

m = f ′(x)

–12 = 3x² – 12x

3x² – 12x + 12 = 0

x² – 4x + 4 = 0

(x – 2)² = 0

x = 2

y = f(2)

y = x³ –6x²

y = 2³ –6. 2²

y = 8 – 24

 y = –16

Jadi, koordinat titik singgung (2, –16).

Maka persamaan garis singgungnya adalah:

y – y1 = m(x – x1)

y + 16 = –12(x – 2)

y + 16 = –12x + 24

y = –12x + 8

y = –4(3x – 2)

Contoh soal 4

Tentukanlah koordinat titik dan persamaan garis singgung pada kurva y = 2x² – 5, sehingga garis singgung kurva di titik itu mempunyai gradien 4.

Penyelesaian

f(x) = 2x² – 5

f ′(x) = 4x

m = f ′(x)

4 = 4x

x = 1

y = f(1)

y = x² –5

y = 1² –5

y = 1 – 5

 y = –4

Jadi, koordinat titik singgung (1, –4).

Maka persamaan garis singgungnya adalah:

y – y1 = m(x – x1)

y + 4 = 4(x – 1)

y + 4 = 4x -4

y = 4x -8

Demikianlah sedikit pembahasan mengenai persamaan garis singgung suatu kurva dengan menggunkan konsep turunan. Untuk memantapkan pemahaman anda, silahkan anda jawab soal tantangan berikut.

Soal Tantangan 1

Carilah persamaan garis singgung pada kurva y = x² – 3x + 3, yang tegak lurus dengan garis y = x + 6,

Soal Tantangan 2

Carilah persamaan garis singgung pada kurva y = x² – 2x + 2, yang sejajar dengan garis 5x + y = 1.

TOLONG DIBAGIKAN YA :