Metode Substitusi Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear

Sebelumnya Mafia Online sudah membahas tentang metode grafik dan metode eliminasi untuk mencari himpunan penyelesaian sistem persamaaan linear dua variabel. Nah pada kesempatan ini Mafia Online akan membahas satu metode lagi untuk menentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel, yakni metode substitusi. Apa itu metode substitusi?

Metode substitusi merupakan suatu metode yang digunakan untuk menentukan himpunan penyelesaian suatu sistem persamaan linear dua variabel dengan cara mengganti (mensubstitusi) salah satu variabelnya. Jika variabelnya x dan y, untuk menentukan variabel x kita harus mensubstitusi variabel y terlebih dahulu, atau sebaliknya, bila ingin mencari variabel y maka kita harus mengganti variabel x terlebih dahulu. Misalnya kita akan mencari himpunan penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel berikut 3x + y = 4 dan –x + 2y = 1 dengan menggunakan metode substitusi.

Kita harus mengubah terlebih dahulu salah satu persamaan tersebut menjadi persamaan yang ekuivalen dengan persamaan sebelumnya. Misalnya kita akan mengubah persamaan yang pertama 3x + y = 4. Persamaan 3x + y = 4 ekuivalen dengan y = 4 – 3x, kemudian substitusikan persamaan y = 4 – 3x ke persamaan yang kedua –x + 2y = 1, maka:

=> –x + 2y = 1

=> –x + 2(4 – 3x) = 1

=> –x + 8 – 6x = 1

=> –x  – 6x = 1 – 8

=> –7x = –7

=> x = –7/–7

=> x = 1

Selanjutnya untuk memperoleh nilai y, substitusikan nilai x ke persamaan y = 4 – 3x, sehingga diperoleh:

=> y = 4 – 3x

=> y = 4 – 3.1

=> y = 4 – 3

=> y = 1

Jadi, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan 3x + y = 4 dan –x + 2y = 1 adalah {(1, 1)}.

Bagaimana? Mudah kan? Cara ini merupakan cara yang paling mudah versi Mafia Online. Untuk memantapkan pemahaman Anda tentang metode substitusi, silahkan simak contoh soal berikut ini.

Contoh Soal

Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan berikut dengan metode substitusi jika x, y variabel pada himpunan bilangan real.

1. 4x + y = -9 dan x + 2y = 10

2. x + y = 5 dan y = x + 1

3. x + 5y = –5 dan x + y + 5 = 0

4. 2x – 3y = 11 dan 3x + y = 0

5. x = y + 2 dan y = 2x – 5

6. y = –x dan 3x + y = 2

7. 2x + 3y = 0 dan x + y = 1

8. 2x + y + 5 = 2 dan 3y + 2x = –5

9. 4x + 3y = 6 dan 2x – y = 3

10. 2x + 4y = 6 dan 4x + 8y – 8 = 0

Penyelesaian:

1. 4x + y = – 9 dan x + 2y = 10

Ubah salah satu variabel menjadi persamaan yang ekuivalen, yakni:

x + 2y = 10 => x = 10 – 2y

Substitusikan ke persamaan yang lainnya, maka:

=> 4x + y = – 9

=> 4(10 – 2y) + y = – 9

=> 40 – 8y + y = – 9

=> –7y = –49

=> y = –49/(–7)

=> y = 7

Substitusi y = 7 ke persamaan x = 10 – 2y, maka:

=> x = 10 – 2y

=> x = 10 – 2.7

=> x = 10 – 14

=> x =– 4

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(– 4, 7)}.

2. x + y = 5 dan y = x + 1

Karena variabel y sudah dalam bentuk persmaan, jadi tinggal mensubstitusikannya saja, maka:

=> x + y = 5

=> x + (x + 1) = 5

=> 2x + 1 = 5

=> 2x = 5 – 1

=> 2x = 4

=> x = 4/2

=> x = 2

Substitusi x = 2 ke persamaan y = x + 1, maka:

=> y = x + 1

=> y = 2 + 1

=> y = 3

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(2, 3)}.

3. x + 5y = –5 dan x + y + 5 = 0

Ubah salah satu variabel menjadi persamaan yang ekuivalen, yakni:

x + 5y = –5 => x = –5  – 5y

Substitusikan ke persamaan yang lainnya, maka:

=> x + y + 5 = 0

=> (–5  – 5y) + y + 5 = 0

=> – 4y = 0

=> y = 0

Substitusi y = 0 ke persamaan x = –5  – 5y, maka:

=> x = –5  – 5y

=> x = –5  – 5.0

=> x = –5

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(– 5, 0)}.

4. 2x – 3y = 11 dan 3x + y = 0

Ubah salah satu variabel menjadi persamaan yang ekuivalen, yakni:

3x + y = 0 => y = – 3x

Substitusikan ke persamaan yang lainnya, maka:

=> 2x – 3y = 11

=> 2x – 3(– 3x) = 11

=> 2x + 9x = 11

=> 11x = 11

=> x = 1

Substitusi x = 1 ke persamaan y = – 3x, maka:

=> y = – 3x

=> y = – 3.1

=> y = – 3

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(1, – 3)}.

5. x = y + 2 dan y = 2x – 5

Karena variabel x sudah dalam bentuk persmaan, jadi tinggal mensubstitusikannya saja, maka:

=> y = 2x – 5

=> y = 2(y + 2) – 5

=> y = 2y + 4 – 5

=> y – 2y = 4 – 5

=> – y = – 1

=> y = 1

Substitusi y = 1 ke persamaan x = y + 2, maka:

=> x = y + 2

=> x = 1 + 2

=> x = 3

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(3, 1)}.

6. y = –x dan 3x + y = 2

Karena variabel y sudah dalam bentuk persmaan, jadi tinggal mensubstitusikannya saja, maka:

=> 3x + y = 2

=> 3x + (–x) = 2

=> 2x = 2

=> x = 1

Substitusi x = 1 ke persamaan y = –x, maka:

=> y = –x

=> y = –1

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(1, –1)}.

7. 2x + 3y = 0 dan x + y = 1

Ubah salah satu variabel menjadi persamaan yang ekuivalen, yakni:

x + y = 1 => x = 1 – y

Substitusikan ke persamaan yang lainnya, maka:

=> 2x + 3y = 0

=> 2(1 – y) + 3y = 0

=> 2 – 2y + 3y = 0

=> y = – 2

Substitusi y = – 2 ke persamaan x = 1 – y, maka:

=> x = 1 – y

=> x = 1 – (– 2)

=> x = 1 + 2

=> x = 3

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(3, –2)}.

8. 2x + y + 5 = 2 dan 3y + 2x = –5

Ubah salah satu variabel menjadi persamaan yang ekuivalen, yakni:

2x + y + 5 = 2 => y =  –3 – 2x

Substitusikan ke persamaan yang lainnya, maka:

=> 3y + 2x = –5

=> 3(–3 – 2x) + 2x = –5

=> –9 – 6x + 2x = –5

=> –4x = 4

=> x = –1

Substitusi x = –1 ke persamaan y =  –3 – 2x, maka:

=> y =  –3 – 2x

=> y =  –3 – 2. – 1

=> y = –3 + 2

=> y = – 1

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(– 1, – 1)}.

9. 4x + 3y = 6 dan 2x – y = 3

Ubah salah satu variabel menjadi persamaan yang ekuivalen, yakni:

2x – y = 3 => y =  2x – 3

Substitusikan ke persamaan yang lainnya, maka:

=> 4x + 3y = 6

=> 4x + 3(2x – 3) = 6

=> 4x + 6x – 9 = 6

=> 10x = 15

=> x = 15/10

=> x = 3/2

Substitusi x = 3/2 ke persamaan y =  2x – 3, maka:

=> y =  2x – 3

=> y =  2(3/2) – 3

=> y = 3 – 3

=> y = 0

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(2/3, 0)}.

10. 2x + 4y = 6 dan 4x + 8y – 8 = 0

Persamaan ini tidak memiliki himpunan penyelesaian atau himpunan penyelesaiannya berupa himpunan kosong, karena koefisien variabel persamaan 2 merupakan kelipatan dari koefisien persamaan 1 (silahkan baca menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel dengan metode grafik)

Demikianlah pembahasan mengenai cara penyelesaian persamaan linier dua variabel dengan metode substitusi. Mohon maaf jika ada kata-kata atau perhitungan yang salah dalam postingan di atas. Jika ada permasalahan mengenai pembahasan di atas silahkan tanyakan di kolom komentar. Salam Mafia.

TOLONG DIBAGIKAN YA :