Untuk
menguraikan bentuk aljabar (a+b)2 kamu dapat menyelesaikannya dalam
waktu singkat. Akan tetapi, bagaimana dengan bentuk aljabar (a+b)3,
(a+b)4, (a+b)5, dan seterusnya? Tentu saja kamu juga
dapat menguraikannya, meskipun akan memerlukan waktu yang lebih lama. Untuk
memudahkan penguraian perpangkatan bentuk-bentuk aljabar tersebut, kamu bisa menggunakan
pola segitiga Pascal. Sekarang, perhatikan pola segitiga Pascal berikut.
Hubungan
antara segitiga Pascal dengan perpangkatan suku dua bentuk aljabar adalah
sebagai berikut.
Sebelumnya,
kamu telah mengetahui bahwa bentuk aljabar (a + b)2 dapat diuraikan
menjadi a2 + 2ab + b2. Jika koefisien-koefisiennya dibandingkan dengan
baris ketiga pola segitiga Pascal, hasilnya pasti sama, yaitu 1, 2, 1. Ini
berarti, bentuk aljabar (a + b)2 mengikuti pola segitiga Pascal.
Sekarang, perhatikan variabel pada bentuk a2 + 2ab + b2.
Semakin ke kanan, pangkat a semakin berkurang (a2 kemudian a).
Sebaliknya, semakin ke kanan pangkat b semakin bertambah (b kemudian b2).
Jadi, dengan menggunakan pola segitiga Pascal dan aturan perpangkatan variabel,
bentuk-bentuk perpangkatan suku dua (a + b)3, (a + b)4,
(a + b)5, dan seterusnya dapat diuraikan sebagai berikut.
(a + b)3
= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a + b)4
= a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3
+ b4
(a + b)5
= a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3
+ 5ab4 + b5
dan
seterusnya.
Contoh
Soal
a. (x +
5)3
b. (2x
+ 3)3
c. (x –
2)4
d. (3x
– 4)3
e. (4x
+ 5y)3
f. (2x
+ 3y)3
g. (3x
– 2y)4
h. (3x
– 4y)3
Jawab:
a. (x +
5)3 misal a = x dan b = 5 maka,
(a + b)3
= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3, substitusi
a = x dan b = 5 maka,
(x + 5)3
= x3 + 3x25 + 3x52 + 53
(x + 5)3
= x3 + 15x2 + 75x + 125
b. (2x
+ 3)3 misal a = 2x dan b = 3 maka
(a + b)3
= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3, substitusi
a = 2x dan b = 3 maka,
(2x + 3)3
= (2x)3 + 3(2x)23 + 3(2x)32 + 33
(2x + 3)3
= 8x3 + 36x2 + 54x + 27
c. (x –
2)4 misal a = x dan b = -2 maka
(a + b)4
= a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3
+ b4 substitusi a = x dan b = -2 maka,
(x – 2)4
= x4 + 4x3(-2) + 6x2(-2)2 + 4x(-2)3
+ (-2)4
(x – 2)4
= x4 - 8x3 + 24x2 - 32x + 16
d. (3x
– 4)3 misal a = 3x dan b = -4 maka
(a + b)3
= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3, substitusi
a = 3x dan b = -4 maka,
(3x – 4)3
= (3x)3 + 3(3x)2(-4) + 3(3x)(-4)2 + (-4)3
(3x – 4)3
= 27x3 - 108x2 + 144x - 64
e. (4x
+ 5y)3 misal a = 4x dan b = 5y maka
(a + b)3
= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3, substitusi
a = 4x dan b = 5y maka,
(4x + 5y)3
= (4x)3 + 3(4x)2(5y) + 3(4x)(5y)2 + (5y)3
(4x + 5y
b)3 = 64x3 + 240x2y + 300xy2 + 125y3
f. (2x
+ 3y)3 misal a = 2x dan b = 3y maka
(a + b)3
= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3, substitusi
a = 2x dan b = 3y maka,
(2x + 3y)3
= (2x)3 + 3(2x)2(3y) + 3(2x)(3y)2 + (3y)3
(2x + 3y)3
= 8x3 + 36x2y + 54xy2 + 27y3
g. (3x
– 2y)4 misal a = 3x dan b = -2y maka
(a + b)4
= a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3
+ b4 substitusi a = 3x dan b = -2y maka,
(3x – 2y)4
= (3x)4 + 4(3x)3(-2y) + 6(3x)2(-2y)2
+ 4(3x)(-2y)3 + (-2y)4
(3x – 2y)4
= 81x4 - 216x3y + 216x2y2 + 96xy3
+ 16y4
h. (3x
– 4y)3 misal a = 3x dan b = -4y maka
(a + b)3
= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3, substitusi
a = 3x dan b = -4y maka,
(3x – 4y)3
= (3x)3 + 3(3x)2(-4y) + 3(3x)(-4y)2 + (-4y)3
(3x – 4y)3
= 27x3 - 108x2y + 144xy2 + 256y3
Demikian
tips cara mengerjakan soal perpangkatan dalam bentuk aljabar. Dari penjelasan dan
contoh soal di atas maka dapat disimpulkan tips cara mengerjakan soal dalam
bentuk aljabar sebagai berikut.
- Gunakan segitiga pascal untuk menentukan hasil dari (a + b)n
- Gunakan permisalan untuk memudahkan dalam pengerjakan soal-soal tersebut
- Substitusikan permisalan tadi ke hasil yang diperoleh dalam segitiga Pascal. Silahkan lihat contoh soalnya.
terimakasih atas artikelnya ...
BalasHapusini sangat bermanfaat