Contoh Soal dan Pembahasan Kesembangunan

Contoh soal dan pembahasan kesembangunan ini mafia Online posting karena masih ada beberapa anak yang kesulitan mengerjakan soal-soal kesembangunan. Soal ini akan mudah Anda kerjakan jika sudah paham dengan konsep sebangun. Oke tidak perlu basa-basi, langsung saja contoh soalnya.

Contoh Soal 1
Perhatikan gambar di bawah ini.
Jika panjang AB = 18 cm, CD = 10 cm, titik E berada di tengah-tenga garis AC dan titik F berada di tengah-tengah BD. Hitunglah panjang EF.

Penyelesaian:
Cara pertama:
Untuk mengerjakan soal seperti ini, Anda harus membuat garis hayalan yang merupakan perpanjangan dari garis EF hingga menuju garis BC, maka akan tampak seperti gambar di bawah ini.
Sekarang kita akan mencari panjang garis EG dengan menggunakan konsep kesembangunan pada segitiga ABC dengan segitiga CEG, dan misalkan AE = CE = x, maka:
AB/EG = AC/CE
18/EG = 2x/x
EG = 9 cm

Sekarang kita cari panjang FG dengan menggunakan konsep kesembangunan segitiga BCD dan segitiga BFG, dan misalkan BF = DF = y, maka:
CD/FG = BD/BF
10/FG = 2y/y
FG = 5 cm

Sekarang cari panjang EF dengan cara:
EF = EG – FG
EF = 9 cm – 5 cm
EF = 4 cm

Cara kedua:
Selain cara di atas, dapat dicari dengan cara cepat yakni:
EF = ½ (AB – CD)
EF = ½ (18 – 10)
EF = ½ . 8
EF = 4 cm

Contoh Soal 2
Perhatikan gambar di bawah ini.

Jika panjang AB = 18 cm, CD = 27 cm, DE : EB = 1 : 2, CF : AF = 1 : 2. Hitunglah panjang EF.

Penyelesaian:
Cara pertama:
Sama seperti cara mengerjakan Contoh Soal 1 di atas, untuk mengerjakan soal seperti ini, Anda harus membuat garis hayalan yang merupakan perpanjangan dari garis EF hingga menuju garis BC, maka akan tampak seperti gambar di bawah ini.

Sekarang kita akan mencari panjang garis EG dengan menggunakan konsep kesembangunan pada segitiga BCD dengan segitiga BEG, dan misalkan DE = x, BE = 2x, BD = 3x, maka:
CD/EG = BD/BE
27/EG = 3x/2x
EG = 18 cm

Sekarang kita cari panjang FG dengan menggunakan konsep kesembangunan segitiga ABC dan segitiga CFG, dan misalkan CF = y, AF = 2y, AC = 3y, maka:
AB/FG = AC/CF
18/FG = 3y/2y
FG = 12 cm

Sekarang cari panjang EF dengan cara:
EF = EG – FG
EF = 18 cm – 12 cm
EF = 6 cm

Cara kedua:
Selain cara di atas, dapat dicari dengan cara cepat yakni:
EF = 2(CD – AB)/3
EF = 2(27 – 18)/3
EF = 2 . 9/3
EF = 6 cm

Perlu diperhatikan cara cepat contoh soal 1 berbeda dengan cara cepat contoh soal 2, karena memiliki perbandingan panjang garis tengah yang berbeda. Silahkan terlebih dahulu pahami menggunakan cara pertama, karena cara pertama akan menuntun Anda ke cara kedua.

Nah itu contoh soal dan pembahasan tentang kesembangunan. Mohon maaf jika ada kata atau perhitungan yang salah dalam postingan ini. Salam Mafia => Kita pasti bisa.
Baca Selengkapnya ...
Posted by: Hidayanti 5:44 PM

Cara Menentukan Perkalian Silang Dua Buah Vektor

Kita ketahui bahawa perkalian vektor dibedakan menjadi tiga macam, yaitu perkalian vektor dengan skalar, perkalian dua buah vektor yang hasilnya berupa skalar (perkalian titik), dan perkalian dua buah vektor yang hasilnya vektor juga (perkalian silang). Mafia Online sudah mengulas tentang perkalian vektor dengan skalar dan perkalian titikdua buah vektor. Pada kesempatan ini Mafia Online akan mengulas tentang cara menentukan perkalian silang dua buah vektor.

Perkalian silang dua buah vektor A × B disebut juga sebagai cross product. Berbeda dengan perkalian titik dua buah vektor yang akan menghasilkan skalar, jika dua buah vektor A × B yang dioperasikan dengan cross product akan menghasilkan sebuah vektor. Perkalian silang A × B akan menghasilkan vektor yang arahnya tegak lurus dengan bidang yang dibentuk oleh dua buah vektor tersebut, dan besarnya sama dengan hasil kali kedua vektor dengan sinus sudut apitnya. Sekarang coba perhatikan Gambar 1 di bawah ini.
Perkalian silang vektor A dan B
Sumber gambar: BSE

Gambar 1 di atas merupakan perkalian silang antara vektor A dengan vektor B yang menghasilkan vektor C. Di mana vektor C tegak lurus dengan bidang yang dibentuk oleh vektor A dan B dengan sudut apit α. Maka,
C = A × B
|C| = AB sin α

Untuk menentukan arah vektor C dapat kita gunakan aturan tangan kanan dan aturan sekerup. Untuk aturan tangan kanan, di mana ujung vektor A menuju ujung vektor B yang searah dengan lipatan keempat jari dan jempul jari menunjukan arah dari vektor C (perhatikan Gambar 3c). Sedangkan, untuk aturan sekerup, di mana jika vektor A di putar menuju vektor B maka uliran sekerup akan naik dan dapat diasumsikan sebagai arah dari vektor C (perhatikan Gambar 3a).

Aturan sekerup dan tangan kanan pada perkalian silang dua vektor
Sumber: BSE

Kita ketahui bahwa pada sifat operasi perkalian bilangan bulat akan berlaku sifat komutatif yakni:
A × B = B × A
Sedangkan pada perkalian silang dua buah vektor tidak berlaku sifat komutaif (A × B = B × A). Akan tetapi berlaku sifat antikomutatif yakni:
A × B = B × A

Sekarang kembali lagi ke vektor satuan, untuk menentukan resultan vektor satuan dan persamaan perkalian vektor satuan, kita dapat menggunakan sifat-sifat dari perkalian silang sesama satuan.

Jika perkalian silang antara dua vektor satuan yang sama besar dan searah akan bernilai nol, karena sudut yang dibentuk oleh vektor tersebut besarnya 0°. Oleh karena itu,
i × i = (i)(i) sin 0°
i × i = 0 (sin 0° = 0)
begitu juga dengan:
j × j = 0
k × k = 0

Jika perkalian silang dua buah vektor satuan yang berbeda, akan bernilai positif jika searah putaran jarum jam, dan akan bernilai negatif jika arahnya berlawanan dengan arah puratan jarum jam, perhatikan gambar di bawah ini.

Aturan perkalian silang
dengan menggunakan konsep arah putaran jam
Sumber: BSE

Maka:
i × j = k                j × i = –k
j × k = i                k × j = –i
k × i = j                i × k = –j

Selain dengan cara di atas, ada cara lain yang lebih sederhana untuk mengingat rumus perkalian silang dua buah vektor A dan B, yitu dengan menggunakan metode determinan. Silahkan perhatikan gambar di bawah ini.

Cara cepat perkalian silang vektor A dan B
Sumber: BSE

Berdasarkan gambar di atas maka diperoleh rumus perkalian silang dua buah vektor A dan B yakni:
A × B = iAyBz + jAzBx + kAxBy – kAyBx – iAzBy – jAxBz
A × B = iAyBz – iAzBy + jAzBx – jAxBz + kAxBy – kAyBx
A × B = (AyBz – AzBy)i + (AzBx – AxBz)j + (AxBy – AyBx)k

Untuk memantapkan pemahaman Anda tentang perkalian silang (cross product) dua buah vektor, silahkan simak contoh soal di bawah ini.

Contoh Soal 1
Vektor A = 10 N dan vektor B = 20 cm, satu titik tangkap dan saling mengapit sudut 30° satu dengan lain. Tentukan hasil perkalian silang vektor A dan B.

Penyelesaian:
A × B = AB sin α
A × B = 10 N. 20 cm . sin 30°
A × B = 10 N. 20 cm . ½
A × B = 100 Nm

Contoh Soal 2
Hitunglah hasil perkalian silang dua verktor A = i + j + k dan B = 3i + j + 2k.

Penyelesaian:
A × B = (AyBz – AzBy)i + (AzBx – AxBz)j + (AxBy – AyBx)k
A × B = (1.2 – 1.1)i + (1.3 – 1.2)j + (1.1 – 1.3)k
A × B = (2 – 1)i + (3 – 2)j + (1 – 3)k
A × B = i + j – 2k


Nah demikian postingan Mafia Online tentang cara menentukan perkalian silang (cross product) dua buah vektor dan contoh soal serta pembahasannya. Mohon maaf jika ada kata atau perhitungan yang salah dalam postingan ini. Salam Mafia => Kita pasti bisa
Baca Selengkapnya ...
Posted by: Hidayanti 11:11 AM

Cara Menentukan Perkalian Titik Dua Buah Vektor

Sebelumnya Mafia Online sudah mengulas tentang penjumlahan dan pengurangan dua buah vektor. Pada kesempatan ini Mafia Online akan mengulas tentang cara menentukan perkalian titik dua buah vektor. Perkalian vektor dibedakan menjadi tiga macam, yaitu perkalian vektor dengan skalar, perkalian dua buah vektor yang hasilnya berupa skalar (perkalian titik), dan perkalian dua buah vektor yang hasilnya vektor juga (perkalian silang). Untuk perkalian silang dua buah vektor akan dibahas pada postingan berikutnya.

Sebelum membahas tentang perkalian titik dua buah vektor terlebih dahulu kita akan mengulas tentang perkalian vektor dengan skalar. Perkalian vektor A dengan skalar k akan menghasilkan vektor baru kA yang besarnya k kali dari vektor A. Jika nilai k positif, maka arah vektor baru sama dengan vektor sebelumnya. Sedangkan, jika nilai k negatif maka arah vektor baru akan berlawanan arah. Bagaimana dengan perkalian titik dua buah vektor?

Sifat perkalian titik dua buah vektor ini sangat berkaitan dengan penguraian vektor. Perhatikan gambar di bawah ini.
Cara Menentukan Perkalian Titik Dua Buah Vektor

Pada gambar di atas terdapat dua buah vektor dengan membentuk sudut θ. Jika vektor A diproyeksikan terhadap vektor B maka panjang proyeksi vektor A adalah A cos θ, maka perkalian titik dari vektor A dan vektor B adalah
AB = A cos θ . B
AB = A B cos θ

Hasil kali titik dua buah vektor disebut juga dot product. Dua buah vektor yang dioperasikan dengan dot product menghasilkan sebuah skalar, sehingga perkalian titik dua buah vektor disebut juga sebagai perkalian skalar dua buah vektor. Untuk memantapkan pemahaman Anda tentang perkalian titik dua buah vektor, silahkan simak contoh soal di bawah ini.

Contoh Soal 1
Balok yang berada pada bidang datar licin ditarik oleh gaya 200 N dengan arah membentuk sudut 60° terhadap arah horisontal. Pada saat balok berpindah 8 m maka tentukan usaha yang dilakukan oleh gaya F.

Penyelesaian:
Usaha dapat didefinisikan sebagai perkalian titik gaya yang bekerja selama perpindahannya dengan perpindahannya. Berarti dapat diperoleh:
W = F . s
W = (F cos θ) . s
W = F s cos θ
W = 200 N . 8 m . cos 60°
W = 200 N . 8 m . ½
W = 800 Nm
W = 800 Joule (1 Nm = 1 Joule)

Masih ingatkah Anda dengan vektor satuan? Perkalian titik pada dua vektor satuan akan bernilai satu jika vektor tersebut sejenis dan akan bernilai nol jika kedua vektor tersebut tidak sejenis. Kenapa?

Sudut antara vektor satuan i dan 1 adalah 0°, maka (i)(i) cos 0° = 1, sedangkan sudut antara vektor satuan i dan j adalah 90° maka (i)(j) cos 90° = 0. Maka,
i . i = j . j = k . k = 1
i . j = i . k = j . k = 0

Secara matematis, perkalian titik vektor A dan B dapat diperoleh sebagai berikut:
A . B = (Axi +Ayj + Azk) . (Bxi +Byj + Bzk)
A . B = AxBx +AyBy + AzBz

Contoh Soal 2
Tentukan hasil perkalian titik antara dua vektor satuan A = 3i + 4j + 6k dan B = 8i + 5j – 8k

Penyelesaian:
A . B = AxBx + AyBy + AzBz
A . B = 3 . 8 + 4 . 5 + 6 . (– 8)
A . B = 24 + 20 48
A . B = 4

Nah demikian postingan Mafia Online tentang cara menentukan perkalian titik dua buah vektor dan contoh soal serta pembahasannya. Mohon maaf jika ada kata atau perhitungan yang salah dalam postingan ini. Salam Mafia => Kita pasti bisa.
Baca Selengkapnya ...
Posted by: Hidayanti 2:36 AM

Cara Menentukan Peluang Kejadian Majemuk

Kejadian majemuk adalah kejadian yang diperoleh dari kejadian-kejadian sederhana yang dihubungkan kata “dan” atau kata “atau”. Jadi peluang kejadian majemuk dibedakan menjadi dua yakni peluang kejadian saling lepas, peluang kejadian saling bebas, dan peluang kejadian yang tidak terpisah.

Peluang Kejadian Saling Lepas

Peluang kejadian saling lepas atau sering disebut sebagai peluang kejadian terpisah satu sama lain merupakan peluang suatu kejadian yang dapat dihubungkan dengan kata sambung “atau”. Sebagai contoh, misalkan kita diminta untuk menghitung peluang pengambilan kartu K (king) atau A (As) dari tumpukan kartu bridge. Kita ketahui bahwa dalam satu kartu tidak mungkin akan berlaku K dan A, maka kita katakan bahwa kejadian ini terpisah satu sama lain atau saling lepas atau saling asing dan kedua kejadian tidak mungkin terjadi pada waktu yang bersamaan.

Cara Menentukan Peluang Kejadian Majemuk
Kartu King dan As pada kartu bridge

Peluang dua kejadian yang terpisah satu sama lain ditentukan dengan menambahkan kedua peluang kejadian masing-masing dengan rumus:

P(K atau A) = P(K) + P(A)

Untuk memantapkan pemahaman Anda tentang peluang dua kejadian yang terpisah satu sama lain, silahkan simak contoh di bawah ini.

Contoh Soal 1
Dua dadu bermata enam dilempar bersama-sama satu kali. Peluang mucul mata dadu berjumlah 7 atau 10.

Penyelesaian:
Misalkan sampel untuk mata dadu yang berjumlah 7 adalah A dan sampel untuk mata dadu yang berjumlah 10 adalah B, maka:
A = {(1,6), (2,5), (3,4), (6,1), (5,2), (4,3)}
n(A) = 6
B = {(4,6), (5,5), (6,4)}
n(B) = 3
n(S) = 36

P(A) = n(A)/n(S)
P(A) = 6/36

P(B) = n(B)/n(S)
P(A) = 3/36


P(A atau B) = P(A) + P(B)
P(A atau B) = (6/36) + (3/36)
P(A atau B) = 9/36
P(A atau B) = ¼

Peluang Kejadian Saling Bebas

Peluang suatu kejadian saling bebas merupakan peluang suatu kejadian dimana hasil kejadian pertama tidak mempengaruhi hasil pada kejadian kedua. Misalnya kita memiliki dua buah kaleng kosong, dua buah permen rasa cokelat dan dua permen rasa jeruk. Kemudian kita masukan pada masing-masing kaleng dengan dua buah permen yang beda rasa (cokelat dan jeruk). Kemudian kita ambil permen yang ada di kaleng pertama dan kita juga mengambil permen pada kaleng kedua, maka pengambilan permen pada kaleng pertama tidak mempengaruhi pengambilan permen pada kaleng kedua. Nah, kejadian semacam ini disebut kejadian saling bebas sebab hasil kejadian pertama tidak mempengaruhi hasil pada kejadian kedua. Peluang dari dua kejadian bebas diperoleh dari hasil kali peluang kejadian pertama dan peluang kejadian kedua dan dirumuskan dengan:

P (A dan B) = P (A) × P (B)

Untuk memantapkan pemahaman Anda tentang peluang dua kejadian saling bebas, silahkan simak contoh di bawah ini.

Contoh Soal 2
Dua dadu bermata enam dilempar bersama-sama satu kali. Peluang mucul mata dadu berjumlah 7 dan 10.

Penyelesaian:
Misalkan sampel untuk mata dadu yang berjumlah 7 adalah A dan sampel untuk mata dadu yang berjumlah 10 adalah B, maka:
A = {(1,6), (2,5), (3,4), (6,1), (5,2), (4,3)}
n(A) = 6
B = {(4,6), (5,5), (6,4)}
n(B) = 3
n(S) = 36

P(A) = n(A)/n(S)
P(A) = 6/36

P(B) = n(B)/n(S)
P(A) = 3/36

P(A dan B) = P(A) × P(B)
P(A dan B) = (6/36) × (3/36)
P(A dan B) = 18/36
P(A dan B) = ½

Peluang Kejadian yang Tidak Terpisah

Kejadian yang tidak terpisah dapat dikatakan sebagai hubungan peluang kejadian saling lepas dengan peluang kejadian saling bebas, karena terkadang kita melihat suatu kejadian-kejadian yang dihubungkan kata “atau” tetapi tidak bersifat terpisah satu sama lain. Sebagai contoh, Iwan ingin melihat bintang kejora di pagi hari, untuk bulan Oktober ada peluang langit akan mendung pada hari Senin dan juga ada peluang langit akan mendung pada hari Selasa. Iwan ingin mencari peluang langit akan mendung pada hari Selasa. Oleh karena langit dapat mendung pada hari Senin dan Selasa, maka mendungnya langit pada hari Senin dan Selasa bukan kejadian yang saling terpisah satu sama lain. Nah, kejadian tersebut dikenal sebagai kejadian yang tidak terpisah.

Untuk mencari peluang dari dua kejadian yang tidak terpisah satu sama lain diperoleh dengan menambahkan peluang kedua kejadian, kemudian menguranginya dengan peluang kejadian bersama yang dirumuskan sebagai berikut:

P (A atau B) = P (A) + P (B) - P (A dan B)

Untuk memantapkan pemahaman Anda tentang peluang dua kejadian yang tidak terpisah satu sama lain, silahkan simak contoh di bawah ini.

Contoh Soal 3
Jika peluang listrik padam hari Rabu adalah 10% dan peluang listrik padam hari Jumat adalah 15%, tentukan peluang listrik padam hari Rabu atau Jumat.

Penyelesaian:
Oleh karena dapat terjadi pemadaman listrik pada kedua hari, kejadian ini adalah kejadian yang tidak terpisah satu sama lain. Kejadian ini juga saling bebas, karena pemadaman listrik pada hari Rabu tidak mempengaruhi pemadaman listrik hari Jumat. Kita ketahui bahwa:
P(R) = 10% = 0,10
P(J) = 15% = 0,15.

P(R atau J) = P(R) + P(J) – P(R dan J)
P(R atau J) = 0,10 + 0,15 – (0,10)(0,15)
P(R atau J) = 0,25 – 0,015
P(R atau J) = 0,235
P(R atau J) = 23,5%
Jadi, peluang akan terjadi pemadaman listrik pada hari Rabu atau Jumat adalah 23,5%.


Nah demikian postingan Mafia Online tentang cara menentukan peluang kejadian majemuk dan contoh soal serta pembahsannya. Mohon maaf jika ada kata atau perhitungan yang salah dalam postingan ini. Salam Mafia => Kita pasti bisa.
Baca Selengkapnya ...
Posted by: Hidayanti 8:16 PM