Disjungsi Nilai Kebenaran Pernyataan Majemuk

Disjungsi adalah gabungan dua pernyataan yang menggunakan kata penghubung logika “atau” sehingga membentuk dua pernyataan majemuk. Kata penghubung “atau” dalam logika matematika dilambangkan dengan “∨ ”. Disjungsi dua pernyataan p dan q dapat dituliskan “p ∨ q” dan dibaca ”p atau q”. Dalam kehidupan sehari-hari, kata “atau” dapat berarti salah satu atau kedua-duanya, dapat pula berarti salah satu tetapi tidak kedua-duanya.

Berdasarkan pengertian di atas, dua buah pernyataan yang dihubungkan dengan ”atau” merupakan disjungsi dari kedua pernyataan semula. Dari pengertian kata “atau” di atas maka muncul dua macam disjungsi yaitu sebagai berikut.

Disjungsi inklusif

Disjungsi inklusif, yaitu dua pernyataan yang bernilai benar apabila paling sedikit satu dari keduanya bernilai benar yang diberi simbol “∨". Untuk disjungsi inklusif dua pernyataan p dan q ditulis p ∨ q. sebagai contoh sekarang perhatikan pernyataan berikut ini, “Andi seorang siswa yang pintar atau seorang atlit berbakat”. Pernyataan itu akan menimbulkan penafsiran “Andi seorang siswa yang pintar, atau seorang atlit yang berbakat, mungkin kedua-duanya”. Pernyataan dengan tafsiran seperti itu merupakan contoh disjungsi inklusif. Untuk contoh yang lain perhatian contoh berikut ini.

1. Persegi memiliki empat sisi atau empat sudut.
2. Adi membawa pensil atau bolpoin.

Tabel kebenaran disjungsi inklusif di berikan sebagai berikut.

 

Disjungsi eksklusif

Disjungsi eksklusif, yaitu dua pernyataan bernilai benar apabila hanya satu dari dua pernyataan bernilai benar yang diberi simbol “⊻”. Disjungsi eksklusif dua pernyataan p dan q ditulis p ⊻ q. Sekarang perhatikan pernyataan sebelumnya lagi, “Andi seorang siswa yang pintar atau seorang atlit berbakat”. Pernyataan itu akan menimbulkan penafsiran “Andi seorang siswa yang pintar, atau seorang atlit yang berbakat, tetapi tidak kedua-duanya (dipilih salah satu)”. Pernyataan dengan tafsiran seperti itu merupakan contoh disjungsi eksklusif. Untuk contoh yang lain perhatikan contoh berikut ini.

1. Adika lahir di Bali atau di Surabaya
2. Dua garis pada satu bidang sejajar atau berpotongan.

Tabel kebenaran disjungsi ekslusif di berikan sebagai berikut.

 

Contoh Soal 1: 

Diketahui pernyataan-pernyataan berikut.

p = Saya rajin belajar

q = Saya lulus UN

Tuliskanlah pernyataan majemuk dari dua pernyataan di atas yang diwakili oleh lambang p ∨ q dan p ∨ ~q!

Penyelesaian:

p ∨ q = Saya rajin belajar atau saya lulus UN.

p ∨ ~q = Saya rajin belajar atau saya tidak lulus UN.

Contoh Soal 2:

Tentukan x agar kalimat ” p(x) ∨ q” untuk p(x) dan q berikut ini menjadi disjungsi yang salah.

p(x) : x² – 16 = 0

q : kuadrat bilangan ganjil adalah bilangan genap.

Penyelesaian:

p(x) : x2 – 16 = 0

q : kuadrat bilangan ganjil adalah bilangan genap.

Penyelesaian :

p(x) : x2 – 16 = 0

(x-4) (x+4) = 0

x = 4 atau x = -4

Pernyataan q, yaitu kuadrat bilangan ganjil adalah bilangan genap bernilai salah. Agar disjungsi bernilai salah, maka haruslah p bernilai salah. Nilai-nilai x yang membuat p bernilai salah adalah x ≠ 4 dan x ≠ -

4.

Contoh Soal 3

Diketahui pernyataan p salah, q bernilai benar dan r bernilai salah. Tentukan nilai kebenaran pernyataan-pernyataan (~p ∨ q) ∨ (p ∨ ~q) dan (p ∨ ~q)∨ ((~p ∨ q) ∨ ~r)!

Penyelesaian:

Untuk pernyataan (~p ∨ q) ∨ (p ∨ ~q), maka:

Jika p bernilai salah maka ~p bernilai benar. Jika q bernilai benar maka ~q bernilai salah. (~p ∨ q) bernilai benar dan (p ∨ ~q) bernilai salah, maka (~p ∨ q) ∨ (p ∨ ~q) bernilai benar.

Untuk pernyataan (p ∨ ~q)∨ ((~p ∨ q) ∨ ~r), maka:

Jika p bernilai salah maka ~p bernilai benar. Jika q bernilai benar maka ~q bernilai salah. Jika r bernilai salah maka ~r bernilai benar. (p ∨ ~q) bernilai salah. (~p ∨ q) bernilai benar. ((~p ∨ q) ∨ ~r) bernilai benar. Maka (p ∨ ~q)∨ ((~p ∨ q) ∨ ~r) bernilai benar.

Contoh Soal 4

Buatlah tabel kebenaran dari pernyataan (~p ∨ ~q) ∨ (p ∨ ~r)!

Penyelesaian:

 

TOLONG DIBAGIKAN YA :