Sifat-Sifat Operasi Himpunan


Sifat-sifat irisan dan gabungan himpunan


Kalian telah mempelajari bahwa anggota irisan dua himpunan adalah anggota persekutuan himpunan tersebut.
Jika A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5} dan C = {4, 5, 6}
maka A  B = {3, 4} dan B  A = {3, 4}.
Tampak bahwa A B = B  A.
Sifat ini disebut sifat komutatif irisan.
Berdasarkan himpunan A, B, dan C di atas dapat diketahui bahwa
 B = {3, 4} dan B  C = {4, 5}, sehingga
(A  B)  C = {3, 4}  {4, 5, 6}
(A  B)  C = {4}
 (B  C) = {1, 2, 3, 4}{4, 5}
 (B  C) = {4}
Tampak bahwa (A  B) C = A(B C).
Sifat ini disebut sifat asosiatif irisan.
Jika A = {1, 2, 3, 4} maka:
 A = {1, 2, 3, 4}  {1, 2, 3, 4}
A = {1, 2, 3, 4}
 A = A
Jadi, A  A = A.
Sifat ini dikenal dengan sifat idempotent irisan.

Untuk setiap himpunan A dengan semesta pembicaraan S, berlaku
a) sifat identitas irisan
 S = A (himpunan S disebut elemen identitas pada irisan)
b) sifat komplemen irisan
 AC = 

Selain sifat-sifat di atas, terdapat hubungan antara irisan dan gabungan dua himpunan. Jika himpunan A = {1, 2, 3}, B = {3, 4, 5, 6}, dan C = {3, 6, 7}, diperoleh B  C = {3, 4, 5, 6, 7}, A  B = {3}, dan  C = {3}.
Dengan demikian diperoleh:
 (B  C) = {1, 2, 3} {3, 4, 5, 6, 7}
 (B C)= {3}
(A  B)  (A  C) = {3}  {3}
(A  B)  (A  C) = {3}
Tampak bahwa A  (B  C) = (A  B)  (A  C).
Secara umum berlaku sebagai berikut.
Untuk setiap himpunan A, B, dan C berlaku
 (B  C) = (A  B)  (A  C)
Sifat ini disebut sifat distributif irisan terhadap gabungan.

Sifat-sifat selisih himpunan
Di depan kalian telah mengetahui bahwa selisih himpunan A dan B adalah himpunan yang anggotanya semua anggota dari A tetapi bukan anggota dari B.
Misalkan:
A = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
B = {1, 2, 3, 6}
C = {1, 2, 4, 8}
maka A – A = {1, 2, 3, 4, 6, 12} – {1, 2, 3, 4, 6, 12}
A – A =
A –  = {1, 2, 3, 4, 6, 12} – 
A –  = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
A –  = A.
Tampak bahwa A – A =  dan A –  = A.
Karena A –  = A, maka  adalah identitas pada selisih himpunan.

Sekarang, perhatikan bahwa B  C = {1, 2}, A – B = {4, 12}, dan A – C = {3, 6, 12}, sehingga diperoleh
A – (B  C} = {1, 2, 3, 4, 6, 12} – {1, 2}
A – (B  C} = {3, 4, 6, 12}
(A – B)  (A – C) = {4, 12}  {3, 6, 12}
(A – B)  (A – C) = {3, 4, 6, 12}
Tampak bahwa A – (B  C) = (A – B)  (A – C).

Secara umum berlaku sebagai berikut:
Untuk setiap himpunan A, B, dan C berlaku
A – (B  C) = (A – B)  (A – C)
Sifat ini disebut sifat distributif selisih terhadap irisan.


Dengan cara yang sama seperti di atas, bahwa pada selisih dua himpunan berlaku sifat distributif selisih terhadap gabungan. Untuk setiap himpunan A, B, dan C berlaku:

A – (B  C) = (A – B)  (A – C)

Subscribe to receive free email updates:

1 Response to "Sifat-Sifat Operasi Himpunan"

  1. contoh soal dan penyelesaian hukum de morgan gimana ya ???
    bantuanya dong,
    makasiiih

    ReplyDelete

Terima kasih sudah membaca blog ini, silahkan tinggalkan komentar dengan sopan dan tidak mengandung unsur SARA atau pornografi serta tidak ada link aktif. Mohon maaf kalau komentarnya dibalas agak lambat. Kolom komentar ini kami moderasi, jadi kalau ada komentar yang tidak sesuai dengan ketentuan tidak akan dipublikasikan.