Operasi Perpangkatan Pada Bentuk Aljabar

Pada postingan sebelumnya Mafia Online sudah membahas tentang operasi pembagian pada bentuk aljabar, sedangkan pada postingan kali ini Mafia Online akan membahas tentang operasi perpangkatan pada bentuk aljabar. Operasi perpangkatan diartikan sebagai perkalian berulang dengan bilangan yang sama. Jadi, untuk sebarang bilangan bulat a, berlaku:

Hal ini juga berlaku pada perpangkatan bentuk aljabar, untuk bentuk aljabar (ax + by), maka akan berlaku:

(ax + by)ⁿ = (ax + by)(ax + by)(ax + by) . . . (ax + by)

Dimana (ax + by) sebanyak n.

Untuk memantapkan pemahaman Anda tentang cara menentukan operasi perpangkatan pada bentuk aljabar, silahkan perhatikan contoh soal di bawah ini.

Contoh soal 1

Tentukan hasil perpangkatan bentuk aljabar berikut.

a. (2a)²

b. (3xy)³

c. (–2ab)⁴

d. (4a²b²)²

e. –3(x²y)³

f. –(2pq)⁴

g. ½(2xy)²

h. a(ab²)³

Penyelesaian:

Tentukan hasil perpangkatan bentuk aljabar berikut.

a. (2a)²

<=> (2a)² = (2a)(2a)

<=> (2a)² = 4a²

b. (3xy)³

<=> (3xy)³ = (3xy)(3xy)(3xy)

<=> (3xy)³ = 9x³y³

c. (–2ab)⁴

<=> (–2ab)⁴ = (–2ab)(–2ab)(–2ab)(–2ab)

<=> (–2ab)⁴ = 8a⁴b⁴

d. (4a²b²)²

<=> (4a²b²)² = (4a²b²)(4a²b²)

<=> (4a²b²)² = 16a⁴b⁴

e. –3(x²y)³

<=> –3(x²y)³ = –3(x²y)(x²y)(x²y)

<=> –3(x²y)³ = –3(x⁶y³

f. –(2pq)⁴

<=> –(2pq)⁴ = –(2pq)(2pq)(2pq)(2pq)

<=> –(2pq)⁴ = –16p⁴q4

g. ½(2xy)²

<=> ½(2xy)² = ½(2xy)(2xy)

<=> ½(2xy)² = ½.4x²y²

<=> ½(2xy)² = 2x²y²

h. a(ab²)³

<=> a(ab²)³ = a(ab²)(ab²)(ab²)

<=> a(ab²)³ = a(a³b⁶)

<=> a(ab²)³ = a⁴b⁶

Nah contoh di atas merupakan contoh soal untuk perpangkatan bentuk aljabar suku satu, bagaimana perpangkatan bentuk aljabar suku dua?

Untuk perpangkatan bentuk aljabar suku dua kita dapat gunakan pola segitiga pascal, seperti gambar di bawah ini.

Bagaimana menggunakan segitiga pascal di atas untuk menjabarkan perpangkatan bentuk aljabar yang bersuku dua? Silhkan simak contoh penjabarannya berikut ini. Kita misalkan (a + b)³, berdasarkan gambar di atas koefesien untuk (a + b)³ adalah 1 3 3 1, maka penjabarannya yakni:

(a + b)³ = 1.a³ + 3.a²b + 3.ab² + 1.b³

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Sekarang coba perhatika jumlah pangkat tiap sukunya! Ternyata jumlah pangkatnya sama dengan tiga. Masih bingung? Oke, Mafia Online berikan satu contoh penjabaran untuk bentuk aljabar (a + b)⁶, berdasarkan gambar di atas koefesien untuk (a + b)⁶ adalah 1 6 15 20 15 6 1, maka penjabarannya yakni:

(a + b)⁶

= 1.a⁶ + 6.a⁵b + 15.a⁴b² + 20.a³b³ + 15.a²b⁴ + 6.ab⁵ + 1.b⁵

= a⁶ + 6a⁵b + 15a⁴b² + 20a³b³ + 15a²b⁴ + 6ab⁵ + b⁵

Sekarang coba perhatika jumlah pangkat tiap sukunya! Ternyata jumlah pangkatnya sama dengan enam.

Untuk memantapkan pemahaman Anda tentang operasi perpangkatan bentuk aljabar suku dua dengan menggunakan segitiga pascal, silahkan simak contoh soal di bawah ini.

Contoh Soal 2

Jabarkan perpangkatan bentuk aljabar berikut.

a. 2(3p + q)⁴

b. 5(3a + 2)⁴

Penyelesaian:

a. 2(3p + q)⁴, koefesien untuk bentuk aljabar suku dua pangkat empat yakni 1 4 6 4 1, maka:

<=> 2(1.(3p)⁴ + 4(3p)³q + 6(3p)²q² + 4(3p)q³ + 1.q⁴)

<=> 2(3⁴p⁴ + 4(3³p³q) + 6(3²p²q²) + 4(3pq³) + q⁴)

<=> 2(81p⁴ + 4(27p³q) + 6(9p²q²) + 4(3pq³) + q⁴)

<=> 162p⁴ + 108p³q + 54p²q² + 12pq³ + q⁴

b. 5(3a + 2)⁴, koefesien untuk bentuk aljabar suku dua pangkat empat yakni 1 4 6 4 1, maka:

<=> 5(1.(3a)⁴ + 4(3a)³.2 + 6(3a)²2² + 4(3p)2³ + 1.2⁴)

<=> 5(3⁴a⁴ + 4.3³a³.2 + 6.32a².2² + 4.3p2³ + 2⁴)

<=> 5(81a⁴ + 4.27a³.2 + 6.9a².4 + 4.3p.8 + 16)

<=> 5(81a⁴ + 216a³ + 216a² + 96p + 16)

<=> 405a⁴ + 1080a³ + 1080a² + 480p + 80

Contoh Soal 2

Tentukan koefisien (a + b)ⁿ pada suku yang diberikan.

a. Suku ke-2 pada (2a – 3)⁴.

b. Suku ke-3 pada (x + 2y)³.

c. Suku ke-4 pada (a – 3b)⁴.

d. Suku ke-5 pada (2x + 3)⁵.

Penyelesaian:

a. Suku ke-2 pada (2a – 3)⁴. Misalkan x = 2a dan y = – 3,  (2a – 3)⁴ akan menjadi (x + y)⁴ maka suku ke-2 yakni:

<=> 4.x³y = 4.(2a)³(–3)

<=> 4.x³y = –12.8a³

<=> 4.x³y = –96a³

Jadi koefisien suku ke-2 pada (2a – 3)⁴ adalah –96.

b. Suku ke-3 pada (x + 2y)³. Misalkan a = x dan b = 2y,  (x + 2y)³ akan menjadi (a + b)³ maka suku ke-2 yakni:

<=> 3.ab² = 3.x(2y)²

<=> 3.ab² = 12xy²

Jadi koefisien suku ke-3 pada (x + 2y)³ adalah 12.

c. Suku ke-4 pada (a – 3b)⁴. Misalkan x = a dan y = – 3b,  (a – 3b)⁴ akan menjadi (x + y)⁴ maka suku ke-4 yakni:

<=> 4.xy³ = 4.(a)(–3b)³

<=> 4.xy³ = 4.(a)(–3³b³)

<=> 4.xy³ = –108ab³

Jadi koefisien suku ke-4 pada (a – 3b)⁴ adalah –108.

d. Suku ke-5 pada (2x + 3)⁵. Misalkan a = 2x dan b = 3,  (2x + 3)⁵ akan menjadi (a + b)⁵ maka suku ke-5 yakni:

<=> 5.ab⁴ = 5.(2x)(3)⁴

<=> 5.ab⁴ = 810x

Jadi koefisien suku ke-5 pada (2x + 3)⁵ adalah 810.

Demikianlah postingan Mafia Online tentang operasi perpangkatan bentuk aljabar. Mohon maaf jika ada kata atau perhitungan yang salah dalam postingan ini. Salam Mafia.

TOLONG DIBAGIKAN YA :