Secara umum untuk mencari luas segitiga dapat dicari dengan mengalikan setengah panjang alas
dengan tingginya. Di mana tinggi segitiga tegak lurus dengan alasnya. Bagaimana
jika pada segitiga tersebut yang
diketahui komponenya hanya sisi-sisinya? Silahkan simak gambar di bawah ini.
Dari gambar segitiga sebarang ABC di atas
ditarik sebuah garis dari titik C menuju gari AB yang tegak lurus sehingga
membentuk garis tinggi pada segitiga ABC. Di mana ÐCAB = α,
ÐABC = β, ÐBCA = θ, AC = b, AB = c
dan BC = a.
Agar lebih mudah menguasai cara mencari luas
segitiga dengan sinus terlebih dahulu harus paham dengan perbandingan trigonometri pada suatu segitiga siku-siku khususnya
definisi sinus suatu sudut. Oke langsung saja ke pembahasan.
Sekarang perhatikan ΔADC, dengan menggunakan
definisi sinus maka kita akan dapatkan panjang CD adalah:
sin α = CD/AC
CD = AC.sin α
CD = b.sin
α
Sekarang gunakan persamaan untuk mencari luas
segitiga yakni:
L = ½ alas × tinggi
L = ½AB × CD
L = ½c .b.sin
α
L = ½bc.sin α
Sekarang perhatikan ΔBCD, dengan menggunakan
definisi sinus maka kita akan dapatkan panjang CD adalah:
sin α = CD/BC
CD = AC.sin β
CD = a.sin
β
Sekarang gunakan persamaan untuk mencari luas
segitiga yakni:
L = ½ alas × tinggi
L = ½AB × CD
L = ½c .a.sin
β
L = ½ac.sin β
Dengan cara yang sama kita juga bisa melakukan
langkah untuk sudut θ dengan cara menarik sebuah garis dari titik A ke garis BC
yang tegak lurus. Jadi dapat disimpulkan bahwa setiap segitiga
ABC dengan panjang sisi- sisi berturut-turut
adalah a, b dan c satuan panjang
dan besar sudut di hadapan sisi-sisi berturut-turut adalah α, β, dan θ (seperti pada gambar ΔABC di atas) maka
untuk mencari luas segitiga akan berlaku persamaan sebagai berikut:
L = ½bc.sin α
L
= ½ac.sin β
L
= ½ab.sin θ
Untuk memantapkan pemahaman Anda tentang aturan cosinus
pada segitiga silahkan simak contoh soal di bawah ini.
Contoh
Soal 1
Diketahui
segitiga ABC, dengan
panjang AB = 12 cm, BC
= 5 cm
dan sudut B = 30°, tentukan luas ΔABC.
Penyelesaian:
Jika digambarkan segitiganya maka akan tampak
seperti gambar di bawah ini.
Luas ΔABC yakni:
L = ½ AB . BC.sin 30°
L = ½ 12 cm . 5 cm . ½
L = 15 cm2
Contoh
Soal 2
Diketahui
segitiga ABC dengan panjang AC
= BC =
6 cm, AB =
6√3 cm. Tentukan luas ΔABC
tersebut.
Penyelesaian:
Jika digambarkan segitiganya maka akan tampak
seperti gambar di bawah ini.
Dicari
dahulu salah satu
sudutnya dengan menggunakan aturan cosinus:
AB2 = AC2 + BC2
– 2AC.BC.cos C
(6√3)2 = 62 + 62
– 2.6.6. cos C
108 = 36
+ 36 – 72.cos C
36 = 72.cos C
cos C = 36/72
cos C = ½
Dengan menggunakan identitas trigonometri bahwa cos2 C + sin2 C
= 1 maka:
sin2 C = 1 – cos2 B
sin2 C = 1 – (½)2
sin2 C = 1 – ¼
sin2 C = ¾
sin C = ½√3
L = ½ . AC . BC.sin C
L = ½ . 6 cm . 6 cm . ½√3
L = 9√3 cm2
Soal
Tatangan
Sebuah lingkaran yang di dalam terdapat
segiempat tali busur seperti gambar di bawah ini.
Panjang tali busur AB = 1 cm, BC = 3 cm, CD = 4
cm dan AD = 2 cm. Tentukan luas segi empat tali busur tersebut.
2√7 cm luasnya
BalasHapus