Momen Inersia Benda Kontinu (Benda Tegar)

Untuk menghitung besarnya momen inersia untuk benda sistem diskrit (partikel) dapat dilakukan dengan cara menjumlahkan momen inersia masing-masing partikel. Sekarang bagaimana kalau benda tersebut dalam bentuk benda tegar? Bagaimana cara mencari besarnya momen inersia benda tegar?

Pada benda tegar, massa benda terkonsentrasi pada pusat massanya dan tersebar pada jarak yang sama dari titik pusat massa benda. Oleh karena itu, momen inersia benda tegar dapat dihitung menggunakan teknik integral dengan persamaan:

I = ∫r²dm

Misalkan kita akan menghitung besarnya momen inersia untuk silinder berongga dengan massa M, seperti gambar di bawah ini.

Coba perhatikan gambar di atas. Dari gambar tersebut dapat dilihat bahwa kulit silinder memiliki jari-jari R₂, tebal dr, jari-jari dalam R₁ dan dengan panjang L. Jika massa jenis silinder (ρ), yaitu massa tiap satuan volume, maka dapat ditulis dengan persamaan:

dm = ρ dV

dengan dV merupakan volume kulit silinder yang memiliki massa dm. Kita ketahui bahwa volume silinder dapat dirumuskan:

dV = (2πr dr)L

sehingga dengan demikian maka massa silinder dapat dicari dengan persamaan:

dm = ρ dV

dm = ρ (2πr dr)L

dm = 2πρLr dr

Kita ketahui bahwa momen inersia untuk benda tegar atau sisitem kontinu adalah:

I = ∫r²dm

Maka momen inersia untuk silinder pejal berongga (cincin) dapat dicari sebagai berikut:

I = ∫r²dm

I = ∫r²(2πρrL dr)

I =2πρL∫r³ dr

I =  ½ πρL (R₂⁴ – R₁⁴)

Dalam hal ini R₂⁴ – R₁⁴ = (R₂² – R₁²)(R₂² + R₁²) maka persamaannya menjadi:

I = ½ πρL (R₂² – R₁²)(R₂² + R₁²)

Kita ketahui bahwa massa silinder berongga M adalah perkalian antara massa jenis dengan volume, yaitu:

M = ρV

Sedangkan volume V silinder berongga dapat dicari dengan persamaan:

V = π(R₂² – R₁²)L

Maka massa silinder berongga adalah:

M = ρπ(R₂² – R₁²)L

M = πρL(R₂² – R₁²)

Sekarang momen inersia untuk benda berbentuk silinder pejal yang berongga adalah:

I = ½ πρL (R₂² – R₁²)(R₂² + R₁²)

I = ½ M(R₂² + R₁²)

Jadi momen inersia untuk silinder pejal berongga (cincin) yang bermassa M dengan jari-jari dalam R₁ dan jari-jari luar R₂ yang berputar terhadap sumbunya adalah:

I = ½ M(R₂² + R₁²)

Dari persamaan I = ½ M(R₂² + R₁²) kita akan dapatkan momen inersa silinder dalam bentuk lain. Misalnya untuk momen inersia silinder pejal tak berongga (piringan) kita dapat cari dengan mengganti R₁ = 0. Maka momen inersia silinder pejal tak berongga (piringan) yang diputar terhadap sumbunya adalah:

I = ½ MR²

Dari persamaan I = ½ M(R₂² + R₁²) kita juga akan dapatkan momen inersa silinder dengan ketebalan yang sangat tipis dengan mengganti R₂² = R₁² = R. Maka momen inersia silinder dengan ketebalan yang sangat tipis yang diputar terhadap sumbunya:

I = ½ M(R₂² + R₁²)

I = ½ M(R² + R²)

I = MR²

Nah itu salah satu contoh mencari momen inersia untuk benda tegar (sistem kontinu) yang berbentuk silinder, baik itu silinder pejal atau piringan (tak berongga), silinder pejal berongga (cincin) dan silinder dengan ketebalan yang sangat tipis. Bagaimana dengan benda tegar bentuk yang lain misalnya berbentuk batangan atau bola?

Share :

Facebook Google+ Twitter

Related Posts :