Menentukan Posisi Benda pada Suatu Bidang

Mungkin kamu pernah melihat tayangan balap mobil atau balap motor di televisi. Jika kamu perhatikan, sebelum acara balap dimulai, semua pembalap berhenti (diam) di belakang garis start. Tetapi, begitu isyarat (lampu start) menyala, para pembalap itu memacu mobil atau motornya bergerak cepat meninggalkan tempat start.

 

Balapan MotoGP

Nah, ketika mobil balap berada di garis start, mobil balap dikatakan berada pada posisi awal. Setelah mobil bergerak, posisi mobil balap berubah terhadap garis start. Dengan demikian, untuk mengetahui posisi suatu titik diperlukan suatu titik acuan. Apa itu titik acuan? Silahkan baca postingan “titik acuan suatu titik atau benda” untuk memahami definisi tentang titik acuan.

Pada umumnya, posisi suatu titik ditunjukkan dengan sebuah koordinat. Sebuah koordinat memiliki titik acuan atau kerangka acuan. Berdasarkan kerangka acuan, dapat digambarkan posisi suatu titik pada koordinat tersebut.

Untuk memahami posisi suatu titik pada koordinat, silahkan simak contoh ilustrasi pada peswat terbang berikut ini.

“Pesawat terbang akan mendarat di sebuah bandara. Pilot pesawat tersebut akan memberi laporan kepada petugas penjaga menara kontrol. Pilot menginformasikan posisi pesawat terhadap bandara, kecepatan pesawat, dan berbagai hal yang berkaitan dengan persiapan pendaratan. Posisi pesawat dapat ditunjukkan berdasarkan acuannya terhadap menara kontrol. Misalnya, pesawat berada pada ketinggian 2.000 m dari menara kontrol dan berjarak mendatar 3.000 m.”

Posisi pesawat terhadap menara kontrol tersebut akan lebih mudah dipahami jika dinyatakan dalam sebuah grafik. Salah satu grafik yang digunakan untuk menunjukkan posisi benda adalah grafik kartesius. Jika titik (0,0) menunjukkan kedudukan menara kontrol maka posisi pesawat pada jarak mendatar menunjukkan angka 3.000 m dan ketinggian 2.000 m. Kedudukan tersebut apabila dinyatakan dalam koordinat kartesius akan tampak seperti pada gambar di bawah ini.

Posisi pesawat terhadap menara kontrol

Selain menggunakan grafik kartesius, posisi pesawat tersebut dapat pula ditunjuk kan dengan menggunakan grafik koordinat polar (r , θ). Di mana r adalah jarak suatu titik ke pusat koordinat dan θ adalah sudut dari sumbu X positif dalam koordinat kartesius menuju titik dengan arah berlawanan dengan arah jarum jam.

Hubungan antara koordinat kartesius dengan koordinat polar adalah:

x = r . cos θ

y = r . sin θ

r = √(x² + y²)

tan θ = y/x

Untuk menunjukkan posisi pesawat dengan menggunakan koordinat polar, perlu diketahui terlebih dahulu jarak pesawat ke menara kontrol. Jarak pesawat ke menara kontrol dinyatakan:

r = √(x² + y²)

misalnya untuk contoh di atas:

r = √(3000² + 2000²)

r = 3.605,5 m

Adapun sudut yang dibentuk antara pesawat dengan menara kontrol adalah:

tan θ = y/x

tan θ = 2000/3000

 θ = 33,69°

Dengan demikian, posisi pesawat terbang jika dinyatakan dalam koordinat polar adalah (3.605,5 m ; 33,69°). Posisi titik tersebut dapat ditunjukkan dalam koordinat polar seperti gambar di bawah ini.

Koordinat polar posisi pesawat terhadap menara kontrol

Posisi suatu benda selain dinyatakan dengan koordinat kartesius dan koordinat polar, juga dapat dinyatakan dalam vektor satuan. Adapun persamaan umum vektor posisi dalam koordinat kartesius dua dimensi adalah:

r = x i + y j

dengan besar vektor satuan i = 1 dan besar vektor satuan j = 1.

Penulisan vektor satuan dinyatakan dengan huruf miring dan huruf tebal. Misalnya vektor satuan yang searah sumbu X dinyatakan dengan i. Vektor posisi suatu titik dalam dua dimensi juga dituliskan dengan cara yang sama, misalnya r. Prinsip penulisan lambang tersebut tidak baku namun lazim digunakan. Penulisan vektor juga dapat dilakukan dengan memberi tanda panah di atas lambang vektor atau dengan memberikan harga mutlak pada lambang vektor untuk melambangkan besar vektor.

Untuk memantapkan pemahaman kamu tentang vektor posisi, koordinat kartesius dan koordinat polar, silahkan simakdan pahami contoh soal berikut!

Contoh Soal 1

Kedudukan suatu titik D ditunjukkan oleh koordinat kartesius (3,6). Nyatakan koordinat titik tersebut dalam koordinat polar!

Penyelesaian:

Diketahui: D (3,6)

Ditanyakan: D (r , θ) = . . . ?

Jawab:

Kita cari terlebih dahulu jarak titik D terhadap pusat koordinat, yakni:

r = √(x² + y²)

r = √(3² + 6²)

r = √(9 + 36)

r = √45

r = 3√5

Kemudian cari sudut dari sumbu X positif dalam koordinat (θ), yakni:

tan θ = y/x

tan θ = 6/3

θ = 63,4°

Jadi, koordinat polarnya adalah (3√5, 63,4°).

Contoh Soal 2

Titik H mempunyai kedudukan (4, 30°). Tentukan vektor posisi titik tersebut!

Penyelesaian:

Diketahui: H (4,30°)

Ditanyakan: r_H = . . . ?

Jawab:

Kita cari jarak sumbu x yakni:

x = r . cos θ

x = 4 . cos 30°

x = 4 . ½ √3

x = 2√3

Kemudian cari jarak sumbu y yakni:

y = r . sin θ

y = 4 . sin 30°

y = 4 . ½

y = 2

Jadi vektor posisi titik H adalah r_H = 2√3 i + 2 j

Bagaimana? Mudah bukan? Untuk memantapkan pemahaman kamu tentang materi ini, silahkan simak dan pahami soal di bawah ini. Kemudian tuliskan hasilnya pada kolom komentar.

Soal 1

Kedudukan suatu benda ditunjukkan oleh koordinat kartesius (5,-5). Nyatakan koordinat titik tersebut dalam koordinat polar!

Soal 2

Titik M mempunyai kedudukan (6,53°). Tentukan vektor posisi titik tersebut!

Share :

Facebook Google+ Twitter

Related Posts :