Cara Menentukan Titik Potong Dua Garis

Sebelumnya Mafia Online sudah membahas tentang cara menentukan persamaan garis yang sejajar dan persamaan garis yang saling tegak lurus. Dua garis yang saling sejajar tidak akan berpotongan di suatu titik meskipun garis itu diperpanjang tak hingga. Sedangkan garis yang tegak lurus pasti akan berpotongan di suatu titik tertentu. Bagaimana menentukan titik potong dua buah garis?

Untuk menentukan titik potong dua garis, erat kaitannya dengan kedudukan dua buah garis. Ada dua macam kedudukan garis di dalam bidang yaitu garis saling sejajar dan garis saling berpotongan. Garis dikatakan saling sejajar jika garis itu tidak akan berpotongan di satu titik tertentu meski diperpanjang sampai tak berhingga. Sedangkan garis dikatakan berpotongan jika dua buah garis tersebut saling memotong di titik tertentu.

Sekarang perhatikan gambar di bawah ini.

Pada gambar di atas tampak dua buah garis yang tidak sejajar  yaitu garis k dengan persamaan garis y1 = m1x + c1 dan garis l dengan persamaan garis y2 = m2x + c2. Kita ketahui bahwa bahwa dua garis yang tidak saling sejajar akan berpotongan di satu titik tertentu. Jika kedua garis ini berpotongan di titik P(xo, yo) maka berlaku:

yo = m1xo + c1 . . . (*)

yo = m2xo + c2 . . . .(**)

Dari persamaan * dan **, akan diperoleh:

m1xo + c1 = m2xo + c2

m1xo – m2xo = c2 – c1

x0 = (c2 – c1)/(m1 – m2)

Selanjutnya, untuk memperoleh nilai yo, substitusikan nilai xo pada

salah satu persamaan garisnya.

Jadi, jika y1 = m1x + c1 dan y2 = m2x + c2 adalah persamaan dua garis yang tidak saling sejajar maka titik potongnya dapat dicari dengan menyelesaikan persamaan m1x + c1 = m2x + c2, kemudian menyubstitusikan nilai x ke salah satu persamaan garis tersebut.

Untuk memantapkan pemahaman Anda tentang cara menentukan titik potong dua buah garis, silahkan simak contoh soal di bawah ini.

Contoh Soal 1

Tentukan titik potong kedua garis dengan persamaan y = x + 1 dan y = –5x + 3

Penyelesaian:

Karena kedua persamaan sudah berbentuk y = mx + c, maka titik potong untuk nilai x dapat di cari dengan menghilangkan variabel y, yakni:

<=> x +1 = –5x + 3

<=> x + 5x = 3 – 1

<=> 6x = 2

<=> x = 2/6

<=> x = 1/3

Selanjutnya, untuk menentukan nilai y substitusikan nilai x ke persamaan maka y = x + 1, maka:

<=> y = x + 1

<=> y = 1/3 + 1

<=> y = 1/3 + 3/3

<=> y = 4/3

Jadi, titik potong garis dengan persamaan y = x + 1 dan y = –5x + 3 adalah (1/3, 4/3).

Contoh Soal 2

Tentukan titik potong kedua garis dengan persamaan 3x + 5y = 2 dan 2x – y = 3.

Penyelesaian:

Ubah persamaan 3x + 5y = 2 ke bentuk y = mx + c, yakni:

<=> 3x + 5y = 2

<=> 5y = –3x + 2

<=> y = (–3x + 2)/5

<=> y = (–3/5)x + 2/5

Ubah juga persamaan 2x – y = 3 ke bentuk y = mx + c, yakni:

<=> 2x – y = 3

<=> 2x– 3 = y

<=> y = 2x– 3

maka titik potong untuk x dapat di cari dengan menghilangkan variabel y, yakni:

<=> (–3/5)x + 2/5 = 2x– 3

<=> (–3/5)x – 2x = – 3 – 2/5

<=> (–3/5)x – (10/5)x = – 15/5 – 2/5, jika kedua ruas dikalikan 5 maka:

<=> – 3x – 10x = – 15 – 2

<=> –13x = – 17

<=> x = – 17/–13

<=> x = 17/13

Selanjutnya, untuk menentukan nilai y substitusikan nilai x ke persamaan maka y = 2x– 3, maka:

<=> y = 2x– 3

<=> y = 2(17/13)– 3

<=> y = 34/13 – 3

<=> y = 34/13 – 39/13

<=> y = –5/13

Jadi, titik potong garis dengan persamaan 3x + 5y = 2 dan 2x – y = 3 adalah (17/13, –5/13).

Contoh Soal 3

Tentukan persamaan garis yang melalui titik potong garis 2x + 3y = 5 dan x – 4y = 1 dengan gradien 2.

Penyelesaian:

Cari titik potong garis 2x + 3y = 5 dan x – 4y = 1 dengan mengubahnya ke bentuk y = mx +c terlebih dahulu.

<=> 2x + 3y = 5

<=> 3y = 5 – 2x

<=> y = (5 – 2x)/3. . . . (i)

<=> x – 4y = 1

<=> x – 1 = 4y

<=> (x – 1)/4 = y . . . .(ii)

Dari persamaan (i) dan (ii) akan diperoleh nilai x yaitu:

<=> (5 – 2x)/3 = (x – 1)/4

<=> 12.(5 – 2x)/3 = 12.(x – 1)/4 (kalikan dengan KPK 3 dan 4, yaitu 12)

<=> 20 – 8x = 3x – 3

<=> –8x – 3x = – 3 – 20

<=> –11x = – 23

<=> x = – 23/–11

<=> x = 23/11

Selanjutnya, untuk menentukan nilai y substitusikan nilai x ke persamaan maka x – 4y = 1, maka:

<=> x – 4y = 1

<=> 23/11 – 4y = 1

<=> –4y = 1 – 23/11

<=> –4y = 11/11 – 23/11

<=> –4y = –12/11

<=> y = –12/11/(–4)

<=> y = –12/–44

<=> y = 12/44

<=> y = 3/11

Jadi, titik potong garis dengan persamaan 2x + 3y = 5 dan x – 4y = 1 adalah (23/11, 3/11). Sekarang cari persamaan garis dengan titik potong (23/11, 3/11) dengan gradien 2 yakni:

<=> y – y1 = m(x – x1)

<=> y – (3/11) = 2(x – (23/11))

<=> 11.(y – (3/11)) = 11.2(x – (23/11)) (kedua ruas dikalikan 11)

<=> 11y – 3 = 22x – 46

<=> 11y  = 22x – 46 + 3

<=> 11y  = 22x – 43

Jadi, persamaan garis yang melalui titik potong garis 2x + 3y = 5 dan x – 4y = 1 dengan gradien 2 adalah 11y  = 22x – 43.

Demikian postingan Mafia Online tentang cara menentukan titik potong dua buah garis. Mohon maaf jika ada kata-kata atau hitungan yang salah dalam postingan di atas. Salam Mafia.

Share :

Facebook Google+ Twitter

Related Posts :