Sebelumnya
Mafia Online sudah membahas tentang perbedaan antara barisan bilangan dengan deret bilangan. Nah pada kesempatan ini kita akan kembali membahas mengenai barisan
dan deret bilangan, akan tetapi yang dibahas adalah barisan dan deret aritmatika. Apa itu barisan dan deret aritmatika?
Sebelumnya
kita sudah membahas bahwa bilangan-bilangan yang diurutkan dengan pola (aturan)
tertentu membentuk suatu barisan bilangan. Barisan bilangan yang suku
berikutnya didapat dari penambahan suku sebelumnya dengan bilangan yang tetap (tertentu)
dinamakan barisan aritmetika. Bilangan yang tetap itu dinamakan beda (dilambangkan dengan huruf b).
Dalam
kehidupan sehari-hari sering kita jumpai sesuatu yang menggunakan prinsip
barisan aritmatika. Misalnya pada pemasangan meja di gedung DPR RI di Senayan
seperti gambar berikut ini.
Pada
gambar di atas tampak pada barisan ke-1 terdiri dari 4 buah meja, barisan ke-2
teridiri dari 5 buah meja, barisan ke-3 terdiri 6 buah meja dan begitu juga
seterusnya. Sekarang, bisakah kamu menebak berapa ada meja pada barisan ke-7
dan jumlah semua meja tersebut dari barisan ke-1 sampai barisan ke-7? Untuk
memjawab hal tersebut anda harus pahami terlebih dahulu konsep barisan dan
deret aritmatika.
Sekarang
coba perhatikan contoh barisan bilangan berikut ini.
a. 1,
3, 5, 7, 9, ..., Un,
b. 2,
4, 8, 16, 32, ..., Un.
Selisih
dua suku berurutan pada barisan (a) selalu tetap, yaitu 2. Barisan bilangan
yang demikian dinamakan barisan aritmetika. Adapun selisih dua suku berurutan
pada barisan (b) tidak tetap. Barisan bilangan (b) bukan merupakan barisan
aritmetika.
.
Pada
barisan aritmetika, selisih dua suku berurutan dinamakan beda dan dilambangkan
dengan b. Secara umum, barisan
aritmetika didefinisikan sebagai berikut. Suatu barisan U1, U2, U3, ..., Un, Un
+ 1 dinamakan barisan aritmetika jika untuk setiap n bilangan asli memenuhi
Un + 1
– Un = Un – Un–1 = ... = U2 – U1 = b.
Suku ke-n barisan aritmetika dirumus kan sebagai berikut.
Un = a
+ (n – 1) b
Conto
Soal 1
Tentukan
suku ke-61 dari barisan bilangan 4, 8, 12, 16, . . Un
Penyelesaian:
a = 4
dan b = 4
sehingga
Un = a + (n – 1)b
U61 = 4
+ (61 – 1)4 = 4 + 240 = 244
Jadi,
suku ke-61 dari barisan 4, 8, 12, 16, . . Un adalah 244.
Sekarang
coba perhatikan kembali contoh barisan bilangan berikut ini.
1, 3,
5, 7, 9, ..., Un,
Jika dijumlahkan
barisan tersebut, terbentuklah deret aritmetika sebagai
berikut.
1 + 3 +
5 + 7 + 9 + ... + Un
Jadi,
deret aritmetika adalah jumlah suku-suku barisan dari barisan aritmetika. Sekarang,
bagaimana cara menjumlahkan deret aritmetika tersebut?
Untuk
deret aritmetika yang memiliki suku-suku deret yang sedikit mungkin masih mudah
untuk menghitungnya. Sebaliknya, jika suku-suku deret tersebut sangat banyak,
tentu kamu akan memerlukan waktu yang cukup lama untuk menghitungnya. Rumus untuk
menghitung jumlah suku-suku deret aritmetika adalah sebagai berikut.
Sn = (n/2)(a
+ Un)
Kita
ketahui bahwa Un = a + (n – 1) b, rumus untuk jumlah dari deret aritmatika dapat
ditulis sebagai berikut.
Sn = (n/2)(2a
+ (n – 1) b)
Contoh
Soal 2
Diketahui
deret aritmetika : 6 + 9 + 12 + 15 + 18 + ... + U10. Tentukan:
a. suku
kesepuluh (U10) deret tersebut,
b.
jumlah sepuluh suku pertama (S10).
Jawab :
Diketahui
: a = 6 dan b = 3
a. Un =
a + (n – 1) b maka
U10 = 6
+ (10 – 1) 3
U10 = 6
+ 9 · 3
U10 = 6
+ 27
U10 = 33
Jadi,
suku kesepuluh deret tersebut adalah 33.
b. Sn =
(n/2)(a + Un) maka
S10 = (10/2)(6
+ U10)
S10 = (10/2)(6
+ 33)
S10 =
195
Jadi,
jumlah sepuluh suku pertama deret tersebut adalah 195
Sekarang,
kamu akan mempelajari sifat-sifat deret arimetika. Suatu deret aritmetika
memiliki sifat-sifat sebagai berikut.
(1)
Jika diketahui deret aritmetika U1 + U2 + U3 + ... + Un maka
U2 – U1
= U3 – U2 = U4 – U3 = ... = Un – Un – 1
(2)
Jika U1, U2, dan U3 merupakan suku-suku deret aritmetika maka
2U2 =
U1 + U3
(3)
Jika Um dan Un adalah suku-suku deret aritmetika maka
Um = Un
+ (m – n)b
Contoh
Soal 3
Tentukan nilai x jika suku-suku barisan x – 1, 2x – 8, 5 – x merupakan
suku-suku deret geometri.
Jawab:
Diketahui :
U1 = x
– 1
U2 = 2x
– 8
U3 = 5
– x
2U2 =
U1 + U3 maka
2 (2x –
8) = (x – 1) + (5 – x)
4x – 16
= x – 1 + 5 – x
4x – 16
= 4
4x = 20
x = 5
Jadi,
nilai x sama dengan 5.
Contoh
Soal
Dari
suatu deret aritmetika diketahui bahwa suku keempatnya adalah 38 dan suku
kesepuluhnya adalah 92. Tentukan:
a. beda
deret aritmatika tersebut,
b. suku
ketujuh deret aritmetika tersebut
Jawab:
a. Diketahui
U4 = 38
U10 =
92
Untuk
mencari beda:
Um = Un
+ (m – n)b
92 = 38
+ (10 – 4)b
92 – 38
= (10 – 4)b
54 = 6b
b =
54/6
b = 9
b. Diketahui:
U4 = 38
b = 9
Um = Un
+ (m – n)b maka
U7 = U4
+ (7 – 4)b
U7 = 39
+ (7 – 4)9
U7 = 39
+ 27
U7 = 65
Demikian
pembahasan mengenai cara pengerjakan barisan dan deret aritmatika. Untuk contoh soal yang lain silahkan baca postingan Mafia Online yang berjudul "Contoh soal dan pembahasan tentang barisan aritmatika". Semoga ini
mampu membantu anda memecahkan soal-soal tentang aritmatika.
contoh nomor 1 jawabannya salah, coba di hitung lagi
BalasHapus