Transformasi Lorentz

Kita akan menurunkan suatu transformasi koordinat yang menghubungkan kerangka acuan inersial S dan S* yang memenuhi persyaratan prinsip relativitas khusus Einstein. Oleh karena waktu merupakan besaran relatif maka kita perlu mencari persamaan yang mengaitkan besaran waktu tersebut dari kerangka acuan S ke kerangka acuan S*. Selain itu, kita perlu mencari juga persamaan transformasi untuk x karena benda yang ditinjau diasumsikan bergerak dalam arah sumbu x seperti yang telah dilakukan dalam transformasi Galileo.

Coba Anda perhatikan gambar di atas mengenai hubungan antara x dan x’ ialah

          x’ = k(x-vt) . . . . . persamaan (1)

k merupakan faktor pembanding yang tidak bergantung pada x atau t, tetapi dapat merupakan fungsi dari u. Untuk menuliskan persamaan yang bersesuaian untuk x dinyatakan dalam x’ dan t’. Oleh karena hukum fisika harus berbentuk sama, hubungan ini pun harus memiliki konstanta kesebandingan yang sama. Dengan demikian,

          x = k(x’-vt’) . . . . . persamaan (2)

t dan t’ tidaklah sama. Ini dapat kita lihat dengan cara mensubtitusikan x’ yang diperoleh dari persamaan x’ = k(x-vt) ke persamaan x = k(x’-vt’) Kita akan memperoleh persamaan yang baru, yaitu

          x = k²(x-vt) + kvt’ . . . . . persamaan (3)

Maka dari sini kita dapat memperoleh persamaan

Persamaan (1), (2), dan (4) merupakan tranformasi koordinat yang dimiliki postulat relativitas Einstein.

Harga k dapat diperoleh pada saat t = 0, titik asal kedua kerangka S dan S* berada pada tempat yang sama. Maka t’ = 0 juga. Masing-masing pengamat melakukan pengukuran kelajuan cahaya yang memancar dari titik itu. Kedua pengamat harus mendapatkan kelajuan yang sama, yaitu c. Berarti dalam kerangka S.

          x = c.t . . . . . persamaan (5)

sedangkan dalam kerangka S*

          x’ = c.t’ . . . . . persamaan (6)

Coba Anda subtitusikan x’ dari persamaan (1) dan t’ dari persamaan (4) sehingga Anda dapat memperoleh persamaan baru yaitu

Persamaan tersebut dapat disusun kembali agar memperoleh x

Rumusan untuk x ini akan sama dengan yang dihasilkan oleh persamaan x = c.t. Jadi,

Sehingga akan diperoleh persamaan

Dengan memasukkan k dalam persamaan (1) dan persamaan (4) Anda memperoleh persamaan transformasi lengkap dari pengukuran suatu kejadian dalam S terhadap pengukuran yang sesuai dilakukan dalam S*, memenuhi persamaan:

atau

          

Selanjutnya, akan ditinjau gerak relatif kerangka acuan S terhadap kerangka acuan S*. Kerangka acuan S* yang semula bergerak ke arah sumbu x positif dengan kecepatan tetap v menjadi diam. Sementara itu, kerangka acuan S yang semula diam, sekarang bergerak ke arah sumbu x negatif sehingga kecepatan relatifnya adalah –v. Transformasi koordinat untuk gerak relatif ini mirip dengan transformasi koordinat persamaan (10), persamaan (12), persamaan (13) dan persamaan (14). Karena kedua gerak relatif di atas setara. Perbedaannya hanyalah arah kecepatan relatif masing-masing kerangka acuan tersebut yaitu dari v menjadi –v. Jadi, transformasi koordinatnya menjadi:

atau

         

Transformasi koordinat ini dikenal dengan nama transformasi Lorentz. Nama ini di ambil untuk menghormati Hendrik Anton Lorentz seorang pakar fisika yang berkebangsaan Belanda. Persamaan-persamaan ini kali pertama diusulkan dalam bentuk yang sedikit berbeda oleh Lorentz pada 1904. Ia mengajukan persamaan-persamaan ini untuk menjelaskan hasil nol dalam percobaan Michelson-Morley dan untuk membuat persamaan-persamaan ini Maxwell mengambil bentuk yang sama untuk semua kerangka acuan inersial. Setahun kemudian, Einstein menurunkan persamaan-persamaan ini secara independen berdasarkan pada teori relativitas.

Share :

Facebook Google+ Twitter

Related Posts :