Sifat-sifat
irisan dan gabungan himpunan
Kalian
telah mempelajari bahwa anggota irisan dua himpunan adalah anggota persekutuan
himpunan tersebut.
Jika A
= {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5} dan C = {4, 5, 6}
maka A 
B = {3, 4} dan B A = {3, 4}.
B = {3, 4} dan B A = {3, 4}.
Tampak
bahwa A B = B A.
B = B A.
Sifat ini disebut sifat komutatif irisan.
Berdasarkan
himpunan A, B, dan C di atas dapat diketahui bahwa
A B = {3, 4} dan B C = {4, 5}, sehingga
B = {3, 4} dan B C = {4, 5}, sehingga
(A B) C = {3, 4} {4, 5, 6}
B) C = {3, 4} {4, 5, 6}
(A B) C = {4}
B) C = {4}
A (B C) = {1, 2, 3, 4}{4, 5}
(B C) = {1, 2, 3, 4}{4, 5}
A (B C) = {4}
(B C) = {4}
Tampak
bahwa (A B) C = A(B C).
B) C = A(B C).
Sifat ini disebut sifat asosiatif irisan.
Jika
A = {1, 2, 3, 4} maka:
A A = {1, 2, 3, 4} {1, 2, 3, 4}
A = {1, 2, 3, 4} {1, 2, 3, 4}
A A = {1, 2, 3, 4}
A = {1, 2, 3, 4}
A A = A
A = A
Jadi, A A = A.
A = A.
Sifat ini dikenal dengan sifat idempotent
irisan.
Untuk
setiap himpunan A dengan semesta pembicaraan S, berlaku
a) sifat
identitas irisan
A S = A (himpunan S disebut
elemen identitas pada irisan)
S = A (himpunan S disebut
elemen identitas pada irisan)
b)
sifat komplemen irisan
A AC = 
AC =
Selain
sifat-sifat di atas, terdapat hubungan antara irisan dan gabungan dua himpunan.
Jika himpunan A = {1, 2, 3}, B = {3, 4, 5, 6}, dan C = {3, 6, 7}, diperoleh B 
C = {3, 4, 5, 6, 7}, A B = {3}, dan A C = {3}.
C = {3, 4, 5, 6, 7}, A B = {3}, dan A C = {3}.
Dengan
demikian diperoleh:
A (B C) = {1, 2, 3} {3, 4, 5, 6, 7}
(B C) = {1, 2, 3} {3, 4, 5, 6, 7}
A (B C)= {3}
(B C)= {3}
(A B) (A C) = {3} {3}
B) (A C) = {3} {3}
(A B) (A C) = {3}
B) (A C) = {3}
Tampak
bahwa A (B C) = (A B) (A C).
(B C) = (A B) (A C).
Secara
umum berlaku sebagai berikut.
Untuk
setiap himpunan A, B, dan C berlaku
A (B C) = (A B) (A C)
(B C) = (A B) (A C)
Sifat
ini disebut sifat distributif irisan terhadap gabungan.
Sifat-sifat selisih himpunan
Di
depan kalian telah mengetahui bahwa selisih himpunan A dan B adalah himpunan
yang anggotanya semua anggota dari A tetapi bukan anggota dari B.
Misalkan:
A = {1,
2, 3, 4, 6, 12}
B = {1,
2, 3, 6}
C = {1,
2, 4, 8}
maka A
– A = {1, 2, 3, 4, 6, 12} – {1, 2, 3, 4, 6, 12}
A – A =
A – = {1, 2, 3, 4, 6, 12} –
= {1, 2, 3, 4, 6, 12} –
A – = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
= {1, 2, 3, 4, 6, 12}
A – = A.
= A.
Tampak
bahwa A – A = dan A
– = A.
dan A
– = A.
Karena
A – = A, maka adalah identitas pada selisih himpunan.
= A, maka adalah identitas pada selisih himpunan.
Sekarang,
perhatikan bahwa B C =
{1, 2}, A – B = {4,
12}, dan A – C = {3, 6, 12}, sehingga diperoleh
C =
{1, 2}, A – B = {4,
12}, dan A – C = {3, 6, 12}, sehingga diperoleh
A – (B C} = {1, 2, 3, 4, 6, 12} – {1,
2}
C} = {1, 2, 3, 4, 6, 12} – {1,
2}
A – (B C} = {3, 4, 6, 12}
C} = {3, 4, 6, 12}
(A – B) (A – C) = {4, 12} {3, 6, 12}
(A – C) = {4, 12} {3, 6, 12}
(A – B) (A – C) = {3, 4, 6, 12}
(A – C) = {3, 4, 6, 12}
Tampak
bahwa A – (B C) =
(A – B) (A – C).
C) =
(A – B) (A – C).
Secara
umum berlaku sebagai berikut:
Untuk
setiap himpunan A, B, dan C berlaku
A – (B C) = (A – B) (A – C)
C) = (A – B) (A – C)
Sifat ini disebut sifat distributif selisih
terhadap irisan.
Dengan
cara yang sama seperti di atas, bahwa pada selisih dua himpunan berlaku sifat
distributif selisih terhadap gabungan. Untuk
setiap himpunan A, B, dan C berlaku:
A – (B C) = (A – B) (A – C)
C) = (A – B) (A – C)
contoh soal dan penyelesaian hukum de morgan gimana ya ???
BalasHapusbantuanya dong,
makasiiih