Sebelum membuktikan identitas trigonometri, terlebih
dahulu harus paham dengan trigonometri dasar yakni sinus (sin), cosinus (cos),
tangen (tan), cosecan (csc), secan (sec), dan cotangen (cot). Untuk itu, silahkan
simak gambar di bawah ini.
 |
| Segitiga siku-siku |
Dari gambar segitiga siku-siku ABC di atas maka
didapatkan bahwa:
Sin α =
a/b
Cos α =
c/b
Tan α =
a/c
Csc α =
b/a
Sec α =
b/c
Cot α =
c/a
Dari tan α, csc α, sec α, dan cot α akan
didapatkan bentuk lain yakni:
Tan α = a/c
Tan α = (a/b)/(c/b)
Tan α =
sin α/cos α
Csc α = b/a
Csc α = 1/(a/b)
Csc α =
1/sin α
Sec α = b/c
Sec α = 1/(c/b)
Sec α =
1/cos α
Cot α = c/a
Cot α = 1/(
a/c)
Cot α =
1/tan α
Sekarang kita buktikan bahwa sin2 α +
cos2 α = 1 dengan menggunakan teorema pythagoras yakni:
b2 = a2 + c2
b2 = a2 + c2
(a/sin α)2 = (b.sin α)2 + (b.cos
α)2
a2/sin2 α = b2.sin2
α + b2.cos2 α
a2/sin2 α = b2(sin2
α + cos2 α)
a2/ b2sin2 α =
sin2 α + cos2 α
a2/a2 = sin2 α
+ cos2 α
1
= sin2 α + cos2
α
(terbukti)
Dengan menggunakan persamaan trigonometri dasar
diatas maka persamaan identitas trigonometri sin2 α + cos2
α = 1 dapat dibuktikan sebagai berikut.
sin2 α + cos2 α = 1
(a/b)2 + (c/b)2 = 1
a2/b2 + c2/b2
= 1
(a2 + c2)/b2 =
1
b2/b2 = 1
1 = 1 (terbukti)
Dari persamaan identitas trigonometri sin2
α + cos2 α = 1 akan didapatkan bentuk identitas lain yakni sebegai
berikut.
Jika sama-sama dibagi dengan sin2 α
maka akan didapatkan:
sin2 α + cos2 α = 1
sin2 α/sin2 α + cos2
α/sin2 α = 1/sin2 α
1 + cot2 α = csc2 α
csc2
α – cot2 α = 1
Sedangkan, jika sama-sama dibagi dengan cos2
α maka akan didapatkan:
sin2 α + cos2 α = 1
sin2 α/cos2 α + cos2
α/cos2 α = 1/cos2 α
tan2 α + 1 = sec2 α
sec2
α – tan2 α = 1
 |
| Identitas trigonometri dasar |
Note: Identitas csc α, sec α dan cot α (dalam
kotak warna merah) disebut sebagai identitas kebalikan. Identitas selanjutnya (dalam
kotak berwarna biru) disebut sebagai identitas Pythagoras. Sedangkan identitas
terakhir, tan α dan cot α (dalam kotak warna cokelat) disebut sebagai identitas
rasio.
Makasih, tapi saya masih bingung :(
BalasHapus