Beranda · Matematika SMP · Matematika SMA · Fisika SMP · Fisika SMA · Kimia SMP · Kimia SMA ·
Beranda  ›  Ruang Tiga Dimensi

Cara Menghitung Sudut Antara Garis dan Garis


Masih ingatkah anda dengan materi sebelumnya tentang kedudukan dua buah garis? Materi tersebut sangat berhubungan sekali dengan materi yang Mafia Online sekarang bahas ini yaitu cara mencari besar sudut antara garis dengan garis. Kita ketahui bahwa kedudukan dua buah garis ada empat yakni: dua garis saling berimpit, saling sejajar, saling berpotongan, dan saling bersilangan.

Sekarang perhatikan gambar di bawah ini.
Gambar di atas merupakan kedudukan dua buah garis yang saling sejajar dan dua buah garis saling berimpit. Sudut yang dibentuk oleh dua buah garis yang sejajar dan garis yang berimpit adalah 0°

Sekarang perhatikan gambar kubus ABCD.EFGH di bawah ini.
Perhatikan garis AB (garis v) dan AE (garis u)! Kedua garis tersebut (garis u dan garis v) berpotongan di titik A dan sudut yang dibentuk adalah ∠A atau biasanya ditulis ∠(u,v). Jadi, sudut antara dua garis yang berpotongan merupakan sudut yang berada di titik potong antara dua garis itu dan sinar garisnya sebagai kaki sudut.

Perhatikan gambar di bawah ini.
Perhatikan garis BD (garis y) dan garis FH (garis x)! Kedua garis tersebut saling bersilangan. Garis BD (garis y) sejajar dengan garis FH (garis z) dan garis x dan garis z saling berpotongan. Jadi, sudut antara dua garis bersilangan (misalkan x dan y bersilangan) merupakan sudut yang berada di titik potong antara garis x dengan garis z, di mana garis z sejajar dengan garis y, dan garis x bersilangan dengan garis z.

Perlu  di ingat**
Sudut antara garis x dengan garis y dilambangkan dengan ∠(x,y)
Jika besar ∠(x,y) = 90° serta x dan y berpotongan, maka garis x dan y dikatakan berpotongan tegak lurus; dan x dan y bersilangan, maka garis x dan x dikatakan bersilangan tegak lurus.

Untuk memantapkan pemahaman Anda tentang sudut yang dibentuk  oleh sudut antara garis dan garis silahkan lihat dan pahami contoh soal di bawah ini.

Contoh Soal
Perhatikan gambar kubus ABCD.EFGH di bawah ini.


Jika titik P berada di tengah-tengah rusuk AB, titik Q berada di tengah-tengah diagonal sisi BD, dan panjang rusuk kubus 10 cm. (a) Tentukan besar sudut antara garis AF dan garis FP. (b) Tentukan besar sudut garis AG dengan GQ!

Penyelesaian:
(a) Perhatikan gambar  di bawah ini.
 

Sudut yang dibentuk oleh garis AF dengan garis FP adalah ∠α. Untuk mencari besar ∠α Anda harus mencari panjang AF, panjang FP, dan panjang AP.
AP = ½ AB
AP = ½ 10 cm
AP = 5 cm

Cari panjang AF dengan rumus panjang diagonal sisi kubus yakni:
AF = s√2
AF = 10√2 cm

Cari panjang FP dengan teorema phytagoras yakni:
FP = √(BF2 + BP2)
FP = √(102 + 52)
FP = √125
FP = 5√5 cm

Cari besar ∠α dengan aturan cosines yakni:
AP2 = AF2 + FP2 – 2AF.FP.cos α
52 = (10√2)2 + (5√5)2 – 2. 10√2. 5√5.cos α
25 = 200 + 125 – 100√10.cos α
100√10.cos α = 200 + 125 – 25
100√10.cos α = 300
cos α = 300/(100√10)
cos α = 3/√10
cos α = 3√10/10
arc cos 3√10/10 = 18,43° (Gunakan kalkulator di sini)
Jadi, besar sudut antara garis AF dan garis FP adalah 18,43°

(b) Perhatikan gambar  di bawah ini.
Sudut yang dibentuk oleh garis AG dengan garis GQ adalah ∠β. Untuk mencari besar ∠β Anda harus mencari panjang AG, panjang GQ, dan panjang AQ. Panjang AC = DB yang merupakan diagonal sisi kubus, yakni:
AC = s√2
AC = 10√2

AQ = ½ AC
AQ = ½ 10√2 cm
AQ = 5√2 cm

Cari panjang AG dengan rumus panjang diagonal ruang kubus yakni:
AG = s√3
AG = 10√3 cm

Cari panjang GQ dengan teorema phytagoras yakni:
GQ = √(CQ2 + CG2)
GQ = √((5√2)2 + 102)
GQ = √150
GQ = 5√6 cm

Cari besar ∠β dengan aturan cosines yakni:
AQ2 = AG2 + GQ2 – 2AG.GQ.cos β
(5√2)2 = (10√3)2 + (5√6)2 – 2. 10√3. 5√6. cos β
50 = 300 + 150 – 100√18. cos β
50 = 450 – 300√2. cos β
300√2. cos β = 450 – 50
300√2. cos β = 400
cos α = 400/(300√2)
cos β = 4/3√2
cos β = 4√2/6
cos β = 2√2/3
arc cos 2√2/3 = 19,47°
Jadi, besar sudut garis AG dengan GQ adalah 19,47°

Demikianlah tentang cara mencari besar sudut antara garis dengan garis lain dalam bangun ruang dimensi tiga. Mohon maaf jika ada kata-kata atau jawaban yang salah dalam postingan di atas. Jika ada permasalahan mengenai pembahasan di atas silahkan tanyakan di kolom komentar. Salam Mafia.

3 Responses to "Cara Menghitung Sudut Antara Garis dan Garis"

  1. Didiek18 Mei 2014 pukul 22.40

    Pagi, kak...

    Mau nanya...
    Caranya menghitung arc cos 3√10/10 = 18,43° itu gimana, kak ?
    Apakah harus pakai kalkulator ?
    Kalo dihitung manual, enggak pakai kalkulator bisa enggak ? Gimana caranya, kak ??

    Makasih banyak.

    BalasHapus
    Balasan
    1. Hidayanti18 Mei 2014 pukul 22.54

      Ya, kakak menggunakan kalkulator. Untuk menghitung secara manual hanya bisa dilakukan untuk sudut-sudut istimewa (misalnya sudut 30, 45, dan lain-lain). Untuk kalkulatornya sudah saya berikan linknya.

      Hapus
    2. Didiek19 Mei 2014 pukul 00.03

      Oke, kak.
      Makasih ya...

      Hapus

Terima kasih sudah membaca blog ini, silahkan tinggalkan komentar dengan sopan dan tidak mengandung unsur SARA atau pornografi serta tidak ada link aktif. Mohon maaf kalau komentarnya dibalas agak lambat. Kolom komentar ini kami moderasi, jadi kalau ada komentar yang tidak sesuai dengan ketentuan tidak akan dipublikasikan.