Cara Cepat Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

Dari semua metode yang ada, yakni metode grafik, metode eliminasi, metode substitusi dan metode campuran, yang mana paling mudah untuk dipahami? Tahukah Anda bahwa metode substitusi bisa menghasilkan trik cepat dalam mengerjakan soal-soal sistem persamaan linear dua variabel? Oke, siamk baik-baik ya penjelasannya!

Misalkan kita memiliki sistem persamaan linear dua variabel ax + by = p dan cx + dy = q. Salah satu persamaan tersebut diubah variabelnya menjadi sebuah persamaan yang ekuivalen. Misalnya kita ambil persamaan ax + by = p, maka:

=> ax + by = p

=> ax = p – by

=> x = (p – by)/a

Substitusikan x = (p – by)/a ke persamaan lainnya yakni cx + dy = q, maka:

=> cx + dy = q

=> c((p – by)/a) + dy = q

=> pc/a – cby/a + dy = q

=> pc/a – cby/a + ady/a = q

=> pc –bcy + ady = aq

=>ady – bcy = aq –pc

=> y(ad – bc) = aq –pc

=> y = (aq –pc)/(ad – bc)

Jadi, jika ada sistem persamaan linear dua variabel ax + by = p dan cx + dy = q, dengan variabelnya x dan y maka nilai variabel y dapat ditentukan dengan rumus:

y = (aq –pc)/(ad – bc)

Jika digambarkan akan tampak seperti gambar di bawah ini.

Dari gambar di atas nilai variabel y dapat ditentukan dengan cara mengalikan a dengan q kemudian kurangkan dengan p dikali c, hasil pengurangan tersebut lalu bagi dengan a dikali d dikurangi dengan b dikali c. Untuk memudahkan pemahaman silahkan simak beberapa contoh soal di bawah ini.

Contoh Soal

Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan berikut dengan cara cepat jika x, y variabel pada himpunan bilangan real.

1. 3x + y = 4 dan –x + 2y = 1

2. x + y = 5 dan y = x + 1

3. x + 5y = –5 dan x + y + 5 = 0

4. 2x – 3y = 11 dan 3x + y = 0

5. x = y + 2 dan y = 2x – 5

6. y = –x dan 3x + y = 2

7. 2x + 3y = 0 dan x + y = 1

8. 2x + y + 5 = 2 dan 3y + 2x = –5

9. 4x + 3y = 6 dan 2x – y = 3

10. 2x + 4y = 6 dan 4x + 8y – 8 = 0

Penyelesaian:

1. 3x + y = 4 dan –x + 2y = 1

Kita susun terlebih dahulu sehingga mudah untuk mengerjakannya dengan cara cepat yakni:

3x + y = 4

–x + 2y = 1

=> y = (3.1 – 4.( –1))/(3.2 – 1 .( –1))

=> y = (3 + 4)/(6 + 1)

=> y = 7/7

=> y = 1

Sekarang substitusi y = 1 ke salah satu persamaan tersebut, misalnya persamaan 3x + y = 4, maka:

=> 3x + y = 4

=> 3x + 1 = 4

=> 3x = 3

=> x = 1

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(1, 1)}.

2. x + y = 5 dan y = x + 1

Kita susun terlebih dahulu persamaan tersebut, tetapi masih ekuivalen sehingga mudah untuk mengerjakannya dengan cara cepat yakni:

x + y = 5

x – y = – 1

=> y = (1 . (– 1) – 5 . 1)/(1 . (– 1) – 1 . 1)

=> y = – 6/– 2

=> y = 3

Substitusi y = 3 ke persamaan x + y = 5, maka:

=> x + y = 5

=> x + 3 = 5

=> x = 2

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(2, 3)}.

3. x + 5y = –5 dan x + y + 5 = 0. Kita susun terlebih dahulu persamaan tersebut, tetapi masih ekuivalen yakni:

x + 5y = –5

x + y  = –5

=> y = (1 . (– 5) – (–5 . 1)/(1 . 1 – 5 . 1)

=> y = 0/– 4

=> y = 0

Substitusi y = 0 ke persamaan x + 5y = –5, maka:

=> x + 5y = –5

=> x + 5.0 = –5

=> x = –5

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(–5, 0)}.

4. Dengan menggunakan rumus cepat maka nilai y yakni:

2x – 3y = 11

3x + y = 0,

=> y = (2.0 – 11.3)/(2.1 – (–3).3)

=> y = –33/11

=> y = –3

Substitusi y = –3 ke persamaan 3x + y = 0, maka:

=> 3x + y = 0

=> 3x + (–3) = 0

=> 3x = 3

=> x = 1

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(1, –3)}

5. x = y + 2 dan y = 2x – 5, susun terlebih dahulu persamaan tersebut, tetapi masih ekuivalen yakni:

x – y = 2

2x – y = 5

=> y = (1.5 – 2.2)/(1. (–1) – (–1).2)

=> y = 1/1

=> y = 1

Substitusi y = 1 ke persamaan x = y + 2, maka:

=> x = y + 2

=> x = 1 + 2

=> x = 3

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(3, 1)}

6. y = –x dan 3x + y = 2, susun terlebih dahulu persamaan tersebut, tetapi masih ekuivalen yakni:

x + y = 0

3x + y = 2

=> y = (1.2 – 0.3)/ (1.1 – 1.3)

=> y = 2/–2

=> y = –1

Substitusi y = 1 ke persamaan 3x + y = 2, maka:

=> 3x + y = 2

=> 3x –1 = 2

=> x = 1

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(1, –1)}

7. Dengan menggunakan rumus cepat maka nilai y yakni:

2x + 3y = 0

x + y = 1

=> y = (2.1 – 0.1)/(2.1 – 3.1)

=> y = 2/– 1

=> y = – 2

Substitusi y = – 2 ke persamaan x + y = 1, maka:

=> x + y = 1

=> x – 2 = 1

=> x = 3

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(3, –2)}

8. 2x + y + 5 = 2 dan 3y + 2x = –5, susun terlebih dahulu persamaan tersebut, tetapi masih ekuivalen yakni:

2x + y = –3

2x + 3y = –5

=> y = (2.( –5) – (–3).2)/(2.3 – 1.2)

=> y = (–10 + 6)/(6 – 2)

=> y = –4/4

=> y = –1

Substitusi y = – 1 ke persamaan 2x + 3y = –5, maka:

=> 2x + 3y = –5

=> 2x + 3(–1) = –5

=> 2x = –2

=> x = –1

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(–1, –1)}

9. Dengan menggunakan rumus cepat maka nilai y yakni:

4x + 3y = 6

2x – y = 3

=> y = (4.3 – 6.2)/(4. (–1) – 2.3)

=> y = o/(–1)

=> y = 0

Substitusi y = 0 ke persamaan 2x – y = 3, maka:

=> 2x – y = 3

=> 2x – 0 = 3

=> x = 3/2

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(3/2, 0)}

10. 2x + 4y = 6 dan 4x + 8y – 8 = 0

susun terlebih dahulu persamaan tersebut, tetapi masih ekuivalen yakni:

2x + 4y = 6

4x + 8y = 8

=> y = (2.8 – 6.4)/(2.8 – 4.4)

=> y = (16 – 24)/(16 – 16)

=> y = – 8/0

=> y = ~

Karena y = ~ maka himpunan penyelesaiannya adalah himpunan kosong.

Demikianlah pembahasan mengenai cara cepat menyelesaian sistem persamaan linier dua variabel. Mohon maaf jika ada kata-kata atau perhitungan yang salah dalam postingan di atas. Jika ada permasalahan mengenai pembahasan di atas silahkan tanyakan di kolom komentar. Salam Mafia.

Share :

Facebook Google+ Twitter

Related Posts :