Pada postingan
sebelumnya sudah membahas mengenai “Menghitung
Limit Fungsi yang Mengarah ke Konsep Turunan”, pada postingan tersebut sudah dibahas keterkaitan antara konsep fungsi
limit dengan fungsi turunan. Nah pada psotingan ini akan membahas cara Menghitung Turunan Fungsi yang Sederhana
dengan Menggunakan Definisi Turunan. Oke, langsung saja ke pokok bahasan.
Turunan fungsi yang berbentuk y = u ± v
Misalnya
anda menemukan contoh soal seperti berikut ini. Carilah f ′(x) jika f(x) = 3x3
+ 7x2. Contoh soal tersebut merupakan salah satu contoh turunan
fungsi yang berbentuk y = u
+ v. Bagaimana cara mencari turunan pertama dari soal tersebut tanpa
menggunkan konsep fungsi limit?
Bila y = f(x) = u(x) + v(x) di mana turunan
dari u(x) adalah u'(x) dan turunan dari v(x)
adalah v'(x), maka turunan dari f(x) adalah f ′(x) = u'(x) + v'(x). Begitu juga bila f(x) = u(x) – v(x), maka f
′(x) = u'(x) + v'(x). Jadi, jika y = u ±v, maka y' = u' ± v'. Oleh karena
itu, dengan menggunakan konsep turunan, maka
f(x) = 3x3 + 7x2
f′(x) = 9x2 + 14x
Nah itu
teorinya, agar lebih jelasnya, coba anda pelajarilah beberapa contoh soal
berikut ini
Contoh Soal 1
Carilah
f ′(x) jika f(x) = 3x2 +
7x
Penyelesaian:
f(x) = 3x2 + 7x
Misal:
u = 3x2 → u' = 3⋅2⋅x2 – 1 = 6x1 = 6x
v = 7x → v' = 7⋅1⋅x1 – 1 = 7x0 = 7⋅1
= 7
Jadi
jika f(x) = u + v, maka f ′(x) = u' + v' = 6x + 7
Contoh Soal 2
Carilah
f ′(x) jika f(x) = –x3 – 8x2
Penyelesaian:
f(x) = –x3 – 8x2
Misal:
u = –x3
→ u' = –3x3 – 1 = –3x2
v = 8x2
→ v' = 8 ⋅ 2⋅ x2 – 1 = 16 x1 = 16x
Jadi
jika f(x) = u – v, maka f ′(x) = u' – v'
= –3x2 – 16x
Turunan fungsi yang berbentuk y = u⋅ v
Pembahasan
di atas sudah dijelaskan penjumlahan atau pengurangan dari turunan fungsi, maka
sekarang kita lanjut dengan turunan fungsi dalam bentuk perkalian atau
perkalian turunan fungsi. Misalnya: Carilah y
′ jika y = (x2+3x)(5x +
3). Apakah caranya sama seperti penjumlahan atau pengurangan turunan fungsi?
Jika y
= f(x) = u(x) ⋅ v(x), di mana turunan dari u(x) adalah u'(x) dan
turunan dari v(x) adalah v'(x), maka turunan dari f(x) adalah f ′(x) =
u'(x)⋅
v(x) + u(x) ⋅ v'(x). Jadi jika y = u⋅ v,
maka y' = u' v + u v'.
Agar
lebih jelas silahkan anda pelajarilah beberapa contoh soal berikut ini.
Contoh soal 1
Carilah
y′
jika y = x(5x + 3)
Penyelesaian:
Cara 1:
y = x
(5x + 3)
y = 5x2
+ 3x
y' = 5 ⋅
2x2 – 1 + 3 ⋅1 x1 – 1
y' =
10x1 + 3 ⋅ x0
y' =
10x + 3 ⋅ 1
y' =
10x + 3
Cara 2:
y = x(5x
+ 3)
misal:
u = x → u' = 1
v = 5x
+ 3 → v' = 5 + 0 = 5
Jadi
jika y = u⋅ v, maka
y' = u'
v + u v'
y' = 1
(5x + 3) + x (5)
y' = 5x
+ 3 + 5x
y' = 10x
+ 3
Contoh soal 2
Carilah
y ′
jika y = 3(2x + 1) x2
Penyelesaian:
Cara 1:
y =
3(2x + 1) x2
y = 6x3
+ 3x2
y' = 6 ⋅
3x3 – 1 + 3 ⋅2 x2 – 1
y' =
18x2 + 6x
Cara 2:
y =
3(2x + 1) x2
y = (2x
+ 1) 3x2
misal:
u = 2x
+ 1 → u' = 2
v = 3x2
→ v' =
6x
Jadi jika y = u⋅ v, maka
y' = u' v + u v'
y' = 2 ⋅ 3x2 + (2x + 1) 6x
y' = 6x2 + 12x2 + 6x
y' = 18x2 + 6x
Turunan fungsi yang berbentuk y = u/v
Misalnya:
Carilah y ′ jika y = (x2+3x)/(5x + 3). Apakah
caranya sama seperti perkalian turunan fungsi? Jika y = f(x) = u(x)/v(x), di mana turunan dari u(x) adalah u'(x) dan
turunan dari v(x) adalah v'(x), maka turunan dari f(x) adalah f ′(x) = (u'(x)⋅
v(x) - u(x) ⋅ v'(x))/ v(x)2. Jadi jika y = u/v,
maka y' = (u'v + uv')/v2.
Agar
lebih jelas silahkan anda pelajarilah beberapa contoh soal berikut ini.
Contoh Soal
Pembagian Turunan Fungsi
Carilah turunan pertama dari y = (3x+1)/(4x-3)
Penyelesaian:
y = (3x+1)/(4x-3)
misal:
u = 3x – 2 → u' = 3
v = 5x + 6 → v' = 5
Jika y = uv, maka
y' = (u′ v - uv′)/v2
y' = (3(5x+ 6) - (3x - 2)5)/(5x+6)2
y' = ((15x+ 18) - (15x - 10))/(5x+6)2
y' = 28/(5x+6)2
Turunan fungsi yang berbentuk y = un
Misalnya:
Carilah y ′ jika y = (x2+3x)12. Bagaiman
cara mencari turunan fungsi seperti soal tersebut? Jika y = f(x) = u(x)n, di mana turunan dari u(x) adalah u'(x), maka
turunan pertama dari f(x) adalah f ′(x) = n.u′(x).u(x)n-1⋅ Jadi jika y = un, maka y' = n.u'.un-1
Agar
lebih jelas silahkan anda pelajarilah beberapa contoh soal berikut ini.
Contoh Soal
Pembagian Turunan Fungsi Pangkat
Carilah turunan pertama dari y = (2 + 5x2)5
Penyelesaian:
y = (2 + 5x2)5
misal :
u = 2 + 5x2 → u' = 10x
Jika y = un,
maka
y' = n. u'.un – 1
= 5. 10x (2 + 5x2)5 – 1 ⋅
= 50x(2 + 5x2)4
Jadi, Untuk u dan v masing-masing fungsi x, u'
turunan dari u dan v' turunan dari v dan k bilangan konstan, berdasarkan
pembahasan tersebut dapat disimpulkan beberapa rumus untuk turunan fungsi
sebagai berikut.
Rumus-rumus di dalam kotak tersebut dapat
dibuktikan dengan menggunkan konsep limit fungsi. Silahkan anda buktikan
sendiri rumus-rumus tersebut.
0 Response to "Cara Menghitung Turunan Fungsi yang Sederhana"
Posting Komentar
Terima kasih sudah membaca blog ini, silahkan tinggalkan komentar dengan sopan dan tidak mengandung unsur SARA atau pornografi serta tidak ada link aktif. Mohon maaf kalau komentarnya dibalas agak lambat. Kolom komentar ini kami moderasi, jadi kalau ada komentar yang tidak sesuai dengan ketentuan tidak akan dipublikasikan.