Menentukan Vektor Posisi Dari Fungsi Kecepatan

Sebelumnya admin sudah membahas tentang kecepatan sesaat dalam satu dimensi dan kecepatan sesaat dua dimensi yang diturunkan (didiferensialkan) dari fungsi vektor posisi. Nah sekarang Mafia Online, akan membahas cara menentukan posisi suatu partikel dengan menurunkan fungsi kecepatannya. Konsep dasar yang kamu harus kuasai dalam memahami materi ini adalah konsep intergral. 
Menentukan Vektor Posisi Dari Fungsi Kecepatan


Integral merupakan kebalikan dari turunan (diferensial). Adapun rumus integral secara matematis adalah:
r = ∫xn dx
r = (xn+1)/1+n
Untuk memantapkan pemahaman konsep integral silahkan simak contoh soal di bawah ini.
r = ∫8t3 dt
r = (8tn+1)/1+n
r = (8t3+1)/1+3
r = (8t4)/4
r = 2t4

Dalam arah sumbu-x, fungsi kecepatan suatu benda dapat diturunkan dari fungsi posisi yakni:
vx = dx/dt
Bagaimana menentukan fungsi posisi dari fungsi kecepatan? Posisi benda dapat dicari dengan mengintegralkan fungsi kecepatan, silahkan simak uraian berikut.
vx =dx/dt
dx = vx dt
dengan mengintegralkan kedua ruas maka:
∫dx = ∫ vx dt
Batas-batas integral untuk ruas kiri yakni untuk batas atas sebesar x dan batas bawah sebesar x0, sedangkan batas-batas integral untuk ruas kanan yakni untuk batas atas sebesar t dan batas bawah sebesar t0, maka persamaannya menjadi:
∫dx = ∫ vx dt
x – x0  = ∫ vx dt
x = x0 + ∫ vx dt

hal ini berlaku juga untuk sumbu-y, fungsi kecepatan suatu benda dapat diturunkan dari fungsi posisi yakni:
vy = dy/dt
dy = vy dt
dengan mengintegralkan kedua ruas maka:
∫dy = ∫ vy dt
Batas-batas integral untuk ruas kiri yakni untuk batas atas sebesar y dan batas bawah sebesar y0, sedangkan batas-batas integral untuk ruas kanan yakni untuk batas atas sebesar t dan batas bawah sebesar t0, maka persamaannya menjadi:
∫dy = ∫ vy dt
y – y0  = ∫ vy dt
y = y0 + ∫ vy dt

Dalam hal ini (x0, y0) menyatakan koordinat posisi awal benda, sedangkan (x, y) menyatakan koordinat posisi benda setelah bergerak dalam selang waktu t. Apabila dituliskan dalam bentuk vektor, posisi benda dapat dituliskan sebagai berikut
r = xi + yj
dengan memasukan x dan y, maka diperoleh:
r = (x0 + ∫ vx dt)i + (y0 + ∫ vy dt)j

Untuk memantapkan pemahaman kamu tentang cara menentukan vektor posisi dari fungsi kecepatan, silahkan simak contoh soal di bawah ini.

Contoh Soal
Sebuah partikel bergerak pada bidang xy. Pada posisi awal (x0,y0), partikel berada pada koordinat (4,1) m. Pada sumbu-x kecepatan partikel memenuhi persamaan vx = 5 + 6t dan pada sumbu-y kecepatan partikel memenuhi persamaan vy = 3 + 4t, dengan vx dan vy dalam m/s, dan t dalam sekon. Tentukanlah:
a. persamaan umum vektor posisi partikel,
b. posisi partikel pada saat t = 2 sekon, dan
c. perpindahan partikel antara t = 1 dan t = 3 sekon.

Penyelesaian:
a. Posisi awal partikel adalah (4,1) m, maka x0 = 4 m dan y0 = 1 m. Dengan demikian persamaan umum vektor posisi partikel yakni:
r = (x0 + ∫ vx dt)i + (y0 + ∫ vy dt)j
r = [4 + ∫(5 + 6t)dt]i + [1 + ∫(3 + 4t)dt]j
r = (4 + 5t + 3t2)i + (1 + 3t + 2t2)j

b. Posisi partikel pada saat t = 2 sekon yakni:
=> pada sumbu-x
x = 4 + 5t + 3t2
x = 4 + 5.2 + 3.22
x = 4 + 10 + 12
x = 26 m
=> pada sumbu-y
y = 1 + 3t + 2t2
y = 1 + 3.2 + 2.22
y = 1 + 6 + 8
y = 15 m
Jadi, vektor posisi partikel pada saat t = 2 adalah r = (26i + 15j) m

c. posisi partikel di t = 1 sekon yakni:
r = (4 + 5t + 3t2)i + (1 + 3t + 2t2)j
r1 = (4 + 5.1 + 3.12)i + (1 + 3.1 + 2.12)j
r1 = (12i + 6j) m
posisi partikel di t = 3 sekon yakni:
r = (4 + 5t + 3t2)i + (1 + 3t + 2t2)j
r3 = (4 + 5.3 + 3.32)i + (1 + 3.3 + 2.32)j
r3 = (46i + 28j) m
Perpindahan partikel dari t = 1 sekon hingga t = 3 sekon adalah
Δr = r3 – r1
Δr = (46i + 28j) m – (12i + 6j) m
Δr = (34i + 22j) m

Demikian pembahasan materi dan contoh soal tentang cara menentukan vektor posisi dari fungsi vektor kecepatan. Mohon maaf jika ada kata-kata dan perhitungan yang salah dalam postingan ini. Jika ada kendala dalam memahami materi ini, silahkan tanyakan pada kolom komentar. Salam mafia => kita pasti bisa.

Subscribe to receive free email updates:

0 Response to "Menentukan Vektor Posisi Dari Fungsi Kecepatan"

Post a Comment

Terima kasih sudah membaca blog ini, silahkan tinggalkan komentar dengan sopan dan tidak mengandung unsur SARA atau pornografi serta tidak ada link aktif. Mohon maaf kalau komentarnya dibalas agak lambat. Kolom komentar ini kami moderasi, jadi kalau ada komentar yang tidak sesuai dengan ketentuan tidak akan dipublikasikan.